Из общего числа кандидатов, участвующих в конкурсе на вакантную должность руководителя, (20 + 5) = 25% по итогам комплексной оценки не удовлетворяют профилю минимальных требований. Случайно выбраны 4 кандидата. Построить ряд распределения для случайной величины X – числа кандидатов в выборке, не удовлетворяющих профилю минимальных требований.
Найти функцию распределения, математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение случайной величины X. Используя функцию распределения, определить вероятность того, что число кандидатов, не удовлетворяющих профилю минимальных требований, будет от 2 до 4.
Ответ
Mx=0,9995; Dx= 0,7485; σX=0,8652; вероятность того, что число кандидатов, не удовлетворяющих профилю минимальных требований, будет от 2 до 4 равна 0,2616.
Решение
По условию задачи p 0,25 – вероятность того, что кандидат не удовлетворяют профилю минимальных требований. Тогда вероятность того, что по итогам комплексной оценки кандидат удовлетворяет профилю минимальных требований: q = 1 – p = 0,75.
Случайная величина Х имеет биномиальное распределение с параметрами n = 4, p = 0,25, q = 0,75.
Возможные значения случайной величины х: 0, 1, 2, 3, 4. Соответствующие вероятности вычисляем по формуле Бернулли:
p0=px=0=C40∙p0∙q4=1∙0,250∙0,754=0,3164
p1=px=1=C41∙p1∙q3=4∙0,251∙0,753=0,4220
p2=px=2=C42∙p2∙q2=6∙0,252∙0,752=0,2111
p3=px=3=C43∙p3∙q1=4∙0,253∙0,751=0,0467
p4=px=4=C44∙p4∙q0=1∙0,254∙0,750=0,0038
Закон распределения случайной величины X – числа кандидатов в выборке, не удовлетворяющих профилю минимальных требований – можно задать следующей таблицей:
Таблица 1 – Закон распределения случайной величины Х
xi
0 1 2 3 4
pi
0,3164 0,4220 0,2111 0,0467 0,0038
Проверим правильность составления закона распределения по условию полной группы событий:
0,3164 + 0,4220 + 0,2111 + 0,4067 + 0,0038 = 1.
следовательно, закон выполнен.
Функция распределения F(x) случайной величины X определяется равенством: F(x) = P(X < x), то есть для каждого значения x соответствующее значение F(x) – это вероятность того, что значение случайной величины X окажется меньше, чем x
. Для дискретной случайной величины функция распределения равна сумме вероятностей для тех возможных значений случайной величины, которые меньше x:
Для построения функции распределения F(x) дискретной случайной величины Х воспользуемся ее свойствами.
При x 0 найдем F(x)=PX<0, то есть вероятность того, что число кандидатов в выборке, не удовлетворяющих требованиям будет меньше нуля, но это невозможное событие, значит P(X < 0) = 0 и F(0) = 0.
Для всех чисел из промежутка (–∞; 0] значение функции распределения будет таким же: x≤0: F(x)=0.
При x = 1 найдем F(x)=PX<1, то есть вероятность того, что число кандидатов в выборке, не удовлетворяющих требованиям будет меньше единицы, то есть равно нулю:
F(1)=PX<1=PX=0=0,3164.
И для всех чисел из промежутка (0; 1] значение функции распределения будет таким же: 0<x≤1: F(x)=0,3164.
Пусть x = 2, найдем F(x)=PX<2, то есть вероятность того, что число кандидатов в выборке, не удовлетворяющих требованиям будет меньше двух, то есть либо нуль, либо единица:
F(1)=PX<2=PX=0+PX=1=0,3164+0,4220=0,7384,
и для всех чисел из промежутка (1; 2] значение функции распределения будет таким же: 1<x≤2: F(x)=0,7384.
Пусть x = 3, найдем F(x)=PX<3, то есть вероятность того, что число кандидатов в выборке, не удовлетворяющих требованиям будет меньше двух, то есть либо нуль, либо один, либо два человека:
F(1)=PX<3=PX=0+PX=1+PX=2=0,3164+0,4220+0,2111=0,9495,
и для всех чисел из промежутка (2; 3] значение функции распределения будет таким же: 2<x≤3: F(x)=0,9495.
Пусть x = 4, найдем F(x)=PX<4, то есть вероятность того, что число кандидатов в выборке, не удовлетворяющих требованиям будет меньше двух, то есть или нуль, или один, или два, или три человека:
F(1)=PX<3=PX=0+PX=1+PX=2+PX=3=0,3164+0,4220+0,2111+0,0467=0,9962,
и для всех чисел из промежутка (3; 4] значение функции распределения будет таким же: 3<x≤4: F(x)=0,9962.
Пусть x > 4, например, x = 5; найдем F(x)=PX<5, то есть вероятность того, что число кандидатов в выборке, не удовлетворяющих требованиям будет меньше 5, но это достоверное событие – в любом случае число кандидатов в выборке будет меньше 5
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
