Из генеральной совокупности извлечена выборка объема

А) Найти несмещенные оценки генеральной средней и генеральной дисперсии.
Среднее арифметическое вычислим по формуле:
X=1nxi'ni
где xi'=xi+xi+12 – середина интервалов
12–14 14–16 16–18 18–20 20–22 22–24
xi'
13 15 17 19 21 23
6 15 35 28 11 5
Тогда
X=13∙6+15∙15+17∙35+19∙28+21∙11+23∙5100=1776100=17,76
Дисперсию вычисляем по формуле:
DX=1nxi'2ni-X2.
Вычислим
1nxi'2ni=132∙6+152∙15+172∙35+192∙28+212∙11+232∙5100=
=32108100=321,08
Искомая дисперсия равна
DX=321,08-17,762=5,6624
Найдем несмещенную дисперсию:
S2=nn-1∙DX=100100-1∙5,6624≈5,7196
Найдем среднее квадратическое отклонение
σ(X)=DX=5,6624≈2,38
Найдем исправленное среднее квадратическое отклонение
s=5,7196≈2,392
б) Найдем доверительные интервалы с надежностью 0.95 для оценки математического ожидания и среднеквадратического отклонения.
При известном среднеквадратическом отклонении σ генеральной совокупности доверительный интервал с надежностью γ определяется формулой:
x-t∙σn<m<x+t∙σn
где t∙σn=δ – точность оценки, n – объём выборки, t– значение аргумента функции Лапласа Ф(t), при котором Фt=γ2.
Если объём выборки n>30, то можно заменить σ на s Для малого объёма выборки, т.е . n<30 и неизвестном σ следует пользоваться формулой:
x-tγ∙sn<m<x+tγ∙sn
где tγ находят по таблице.
В нашем случае объём выборки n=100>30 , следовательно для нахождения доверительного интервала используем первую формулу.
Фt=γ2=0,952=0,475⇒t=1,96
Тогда:
17.76-1,96∙2.38100<m<17.76+1,96∙2.38100
17.76-0.47<m<17.76+0.47
17,29<m<18,23
Доверительный интервал для генерального среднего квадратического отклонения определяется следующим образом:
s 1-q<σ<s(1-q)
По таблице находим величину qγ,n=q0,95;100=0,143
Отсюда получаем
17,76∙(1-0,143)<σ<17,76∙(1+0,143)
15,22<σ<20,30
в) Используя критерий Пирсона, при уровне значимости 0.05, проверим гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности.
Для этого необходимо вычислить теоретические вероятности pi и выравнивающие частоты mi'=npi.
Найдём интервальные вероятности pi