Исследуется зависимость коэффициента усвоения знаний, выраженного в процентах (y%) от уровня посещаемости занятий (x%) в группе из четырнадцати учащихся (i – порядковый номер учащегося). Статистические данные приведены в таблице.
Требуется:
1) Найти оценки параметров линейной регрессии y на x. Построить диаграмму рассеяния и нанести прямую регрессии на диаграмму рассеяния.
2) На уровне значимости α=0,05 проверить гипотезу о согласии линейной регрессии с результатами наблюдений.
3) С надежностью γ=0,95 найти доверительные интервалы для параметров линейной регрессии.
i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
xi 55 46 40 39 35 29 31 75 68 66 60 54 59 53
yi
33 32 30 29 27 23 19 47 44 42 40 39 37 36
Решение
Факторный признак х – уровень посещаемости занятий, %; результативный признак у – коэффициент усвоения знаний, %.
Строим поле корреляции (диаграмму рассеивания), для чего на координатную плоскость Оху наносим точки с координатами (хi,уi) (рис.1).
Рис.1 – Поле корреляции
По виду точек на диаграмме делаем предположение о прямой линейной зависимости между переменными х и у.
Составим расчетную таблицу 1.
Таблица 1 – Расчетная таблица
i xi
yi
x2i y2i xiyi
1 55 33 3025 1089 1815
2 46 32 2116 1024 1472
3 40 30 1600 900 1200
4 39 29 1521 841 1131
5 35 27 1225 729 945
6 29 23 841 529 667
7 31 19 961 361 589
8 75 47 5625 2209 3525
9 68 44 4624 1936 2992
10 66 42 4356 1764 2772
11 60 40 3600 1600 2400
12 54 39 2916 1521 2106
13 59 37 3481 1369 2183
14 53 36 2809 1296 1908
Σ 710 478 38700 17168 25705
Средние 50,714 34,143 2764,286 1226,286 1836,071
По данным таблицы 1 определяем следующие величины:
– выборочные средние:
– вспомогательные величины
– выборочные дисперсии и среднеквадратические отклонения:
Уравнение линейной регрессии ищем в виде .
Определим коэффициенты линейной зависимости у от х. Согласно методу наименьших квадратов они находятся по формулам
Поэтому коэффициенты регрессии будут равны
Тогда уравнение связи будет иметь вид .
Покажем линейную линию регрессии на графике исходных данных (рис.2).
Рис.2 – График линейной регрессии
Коэффициент а=6,5796 линейной регрессии формально показывает коэффициент усвоения знаний (%) при нулевом уровне посещаемости занятий (%). Коэффициент b=0,5435 показывает, что при увеличении уровня посещаемости занятий на 1% коэффициент посещаемости занятий увеличивается в среднем на 0,5435%.
Оценим тесноту связи с помощью коэффициента корреляции.
Вычисляем коэффициент корреляции:
.
Данное значение коэффициента корреляции позволяет судить о прямой весьма высокой линейной зависимости между переменными х и у.
Проверим значимость коэффициента корреляции
. Для этого рассмотрим нулевую гипотезу о равенстве нулю генерального коэффициента корреляции между переменными х и у. Вычисляем наблюдаемое значение t-статистики:
Для уровня значимости α=0,05 при степенях свободы ν=n–2=14–2=12 по таблице распределения Стьюдента находим критическое значение статистики:
.
Так как , то нулевая гипотеза о равенстве нулю генерального коэффициента корреляции отвергается.
Таким образом, коэффициент корреляции статистически значим.
Вычислим коэффициент детерминации:
.
Коэффициент детерминации R2 показывает, что доля разброса зависимой переменной, объясняемая регрессией у на х, равна 93,8%, что говорит о том, что практически коэффициент усвоения знаний (у) на 93,8% зависит от уровня посещаемости занятий (х), остальные 6,2% вариации результативного признака обусловлены неучтенными факторами.
Силу связи фактора с результатом оценим с помощью средней ошибки аппроксимации и коэффициента эластичности.
Составим расчетную таблицу 2.
Таблица 2 – Расчетная таблица
i xi
yi
ei
e2i |ei|/yi
1 55 33 36,4721 -3,4721 12,056 0,1052
2 46 32 31,5806 0,4194 0,1759 0,0131
3 40 30 28,3196 1,6804 2,8236 0,0560
4 39 29 27,7761 1,2239 1,4979 0,0422
5 35 27 25,6021 1,3979 1,9541 0,0518
6 29 23 22,3411 0,6589 0,4341 0,0286
7 31 19 23,4281 -4,4281 19,608 0,2331
8 75 47 47,3422 -0,3422 0,1171 0,0073
9 68 44 43,5377 0,4623 0,2138 0,0105
10 66 42 42,4507 -0,4507 0,2031 0,0107
11 60 40 39,1897 0,8103 0,6567 0,0203
12 54 39 35,9286 3,0714 9,4332 0,0788
13 59 37 38,6462 -1,6462 2,7098 0,0445
14 53 36 35,3851 0,6149 0,378 0,0171
Σ 710 478 478 52,261 0,7191
Средние 50,714 34,143 34,143 0,051
Найдем среднюю ошибку аппроксимации по формуле
,
где – отклонения между выборочными значениями результативного признака и соответствующими значениями, полученными по уравнению регрессии; n=14 – количество наблюдений.
Используя данные таблицы 2, находим среднюю ошибку аппроксимации:
.
Допустимый предел значений средней ошибки аппроксимации не более 8–10%:
<8%, ошибка аппроксимации небольшая, и регрессионная модель хорошо описывает изучаемую закономерность;
8%≤≤10% – ошибка аппроксимации высокая, но регрессионная модель хорошо описывает изучаемую закономерность;
>10%, ошибка аппроксимации высокая, регрессионная модель плохо описывает изучаемую закономерность.
В нашем случае, ошибка аппроксимации меньше 8%, т.е
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
