Исследуется зависимость биржевой стоимости акции нефтедобывающей компании (у, руб.) от уровня мировых цен на нефть (х, $/баррель) по данным за последние 14 месяцев (i – порядковый номер месяца). Статистические данные приведены в таблице.
Требуется:
Найти оценки параметров линейной регрессии у на х. Построить диаграмму рассеяния и нанести прямую регрессии.
На уровне значимости проверить гипотезу о согласии линейной регрессии с результатами наблюдений.
С надежностью найти доверительные интервалы для коэффициентов линейной регрессии.
i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
xi 20 24 28 30 31 33 34 37 38 40 41 43 45 48
yi
32 30 36 40 41 47 56 54 60 55 61 67 69 76
Решение
Уравнение линейной регрессии ищем в виде .
Для нахождения коэффициентов регрессии a и b воспользуемся методом наименьших квадратов, для чего составим расчетную таблицу 1.
Таблица 1 – Расчетная таблица для нахождения коэффициентов регрессии
i xi
yi
x2i y2i xiyi
1 20 32 400 1024 640
2 24 30 576 900 720
3 28 36 784 1296 1008
4 30 40 900 1600 1200
5 31 41 961 1681 1271
6 33 47 1089 2209 1551
7 34 56 1156 3136 1904
8 37 54 1369 2916 1998
9 38 60 1444 3600 2280
10 40 55 1600 3025 2200
11 41 61 1681 3721 2501
12 43 67 1849 4489 2881
13 45 69 2025 4761 3105
14 48 76 2304 5776 3648
Σ 492 724 18138 40134 26907
Средние 35,143 51,714 1295,571 2866,714 1921,929
По данным таблицы 1 определяем следующие величины:
– выборочные средние:
– вспомогательные величины:
– выборочные дисперсии и среднеквадратические отклонения:
Определим коэффициенты линейной зависимости у от х. Согласно методу наименьших квадратов они находятся по формулам
Поэтому коэффициенты регрессии будут равны:
Тогда уравнение связи будет иметь вид .
Коэффициент линейной регрессии формально показывает биржевую стоимость акции нефтедобывающей компании (руб.) при нулевом уровне мировых цен на нефть ($/баррель), но фактически не имеет экономического смысла
. Коэффициент показывает, что при увеличении уровня мировых цен на нефть на 1 $/баррель биржевая стоимость акции нефтедобывающей компании увеличивается в среднем на 1,7265 руб.
Построим диаграмму рассеяния и нанесем прямую регрессию (рис.1).
Рис.1 – График линейной регрессии
2) Оценим тесноту связи с помощью выборочного коэффициента корреляции:
.
Данное значение коэффициента корреляции позволяет судить о прямой весьма высокой линейной зависимости между переменными х и у.
Проверим значимость коэффициента корреляции. Для этого рассмотрим нулевую гипотезу о равенстве нулю генерального коэффициента корреляции между переменными х и у. Вычисляем наблюдаемое значение t-статистики:
Для уровня значимости α=0,05 при степенях свободы ν=n–2=14–2=12 по таблице распределения Стьюдента находим критическое значение статистики
.
Так как , то нулевая гипотеза о равенстве нулю генерального коэффициента корреляции отвергается.
Таким образом, коэффициент корреляции статистически значим.
Вычислим теперь коэффициент детерминации:
.
Коэффициент детерминации R2выб показывает, что доля разброса зависимой переменной, объясняемая регрессией у на х, равна 93,8%, что говорит о том, что практически биржевая стоимость акции нефтедобывающей компании (у) на 93,8% зависит от уровня мировых цен на нефть (х), остальные 6,2% вариации результативного признака обусловлены неучтенными факторами.
3) Найдем остаточную дисперсию и стандартную ошибку регрессии соответственно по формулам
и ,
где – отклонения между выборочными значениями результативного признака и соответствующими значениями, полученными по уравнению регрессии; n=14 – количество наблюдений; m=1 – количество факторов.
Составим расчетную таблицу 2.
Таблица 2 – Расчетная таблица
i xi
yi
ei
e2i
1 20 32 25,5703 6,429727 41,341389
2 24 30 32,4762 -2,476239 6,1317577
3 28 36 39,3822 -3,382204 11,439306
4 30 40 42,8352 -2,835187 8,0382857
5 31 41 44,5617 -3,561678 12,685553
6 33 47 48,0147 -1,014661 1,0295375
7 34 56 49,7412 6,2588473 39,17317
8 37 54 54,9206 -0,920627 0,8475539
9 38 60 56,6471 3,3528817 11,241816
10 40 55 60,1001 -5,100101 26,011031
11 41 61 61,8266 -0,826593 0,6832552
12 43 67 65,2796 1,7204247 2,959861
13 45 69 68,7326 0,2674419 0,0715251
14 48 76 73,912 2,0879676 4,3596089
Σ 492 724 724 166,01365
Средние 35,143 51,714 51,714
Используя данные таблицы 2, находим остаточную дисперсию:
и стандартную ошибку регрессии:
.
Определяем стандартную ошибку коэффициента b регрессии по формуле
,
где S – стандартная ошибка регрессии.
Получим
.
Вычислим наблюдаемое значение t-статистики для коэффициента регрессии:
Для уровня значимости α=0,05 при степенях свободы ν=n–2=12 по таблице распределения Стьюдента находим критическое значение статистики
.
Так как , то коэффициент регрессии b значим (отвергаем гипотезу о равенстве нулю этого коэффициента).
Найдем 95% доверительный интервалы для коэффициента регрессии b:
Таким образом, с вероятностью 95% при увеличении уровня мировых цен на нефть на 1 $/баррель биржевая стоимость акции нефтедобывающей компании увеличивается в среднем в границах от 1,4482 до 2,0048 руб..
Определяем стандартную ошибку коэффициента а регрессии по формуле
.
Получим
Вычислим наблюдаемое значение t-статистики для коэффициента регрессии:
.
Для уровня значимости α=0,05 при степенях свободы ν=n–2=12 по таблице распределения Стьюдента находим критическое значение статистики
.
Так как , то коэффициент регрессии а незначим (принимаем гипотезу о равенстве нулю этого коэффициента).
Найдем 95% доверительный интервалы для коэффициента регрессии а:
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
