Исследовать сходимость знакоположительных рядов

Для исследования сходимости ряда применим признак Даламбера:
an=nnn+3! an+1=n+1n+1n+4!=n+1n+1nn+3!n+4
limn→∞an+1an=limn→∞n+1n+1nn+3!n+4∙n+3!nn=limn→∞n+1n+1nnnn+4=
=limn→∞n+1nn∙n+1n+4=limn→∞1+1nn∙n+1n+4=elimn→∞n+4-3n+4=
=elimn→∞1-3n+4=e>1
По признаку Даламбера ряд расходится.
Для исследования сходимости, применим интегральный признак:
an=15(3n-1)4
Исследуем на сходимость интеграл:
1∞dx5(3x-1)4=limA→∞1Adx5(3x-1)4=13limA→∞1Ad3x-15(3x-1)4=
=53limA→∞53x-1A1=53limA→∞53A-1-52=∞
Несобственный интеграл расходится, а значит, и расходится соответствующий ряд.
Для исследования сходимости применим радикальный признак Коши:
an=tg π5n3n
limn→∞nan=limn→∞ntg π5n3n=limn→∞tg π5n3=
Используем эквивалентные бесконечно малые функции:
При α→0: tg α ~ α
n→∞ => π5n→0 => tg π5n ~ π5n
limn→∞tg π5n3=limn→∞π353n=0<1
По радикальному признаку Коши ряд сходится.
Применим предельный признак сравнения