Исследовать сходимость числовых рядов n=1∞(-1)n+12n+1n2+n

Используем признак Лейбница:
1) Ряд является знакочередующимся:
n=1∞(-1)n+12n+1n2+n=32-56+711-917+…
2) Элементы ряда убывают по модулю:
limn→∞an=limn→∞2n+1n2+n=0
Также каждый последующий член ряда больше по модулю чем предыдущий, то есть убывание монотонно.
Ряд сходится, теперь проверим на абсолютную сходимость . То есть проверим на сходимость ряд:
n=1∞an=n=1∞2n+1n2+n
Используем интегральный признак Коши (ряд сходится, если интеграл сходится и наоборот):
1∞2n+1n2+ndn=t=n2+nn=1→t=2dt=2n+1dnn=∞→t=∞dn=dt2n+1=2∞dtt=lnt∞2=ln∞-ln⁡(2)=∞
Ряд расходится.
Ответ: Ряд сходится условно по признаку Лейбница и после интегральному признаку Коши.