Исследовать сходимость числового ряда n=1∞n2n12+3

N=1∞n2n12+3
Сравним данный ряд со сходящимся рядом n=1∞1n10 , который является обобщенным гармоническим рядом n=1∞1np, p=10>1
Используем предельный признак сравнения
Если предел отношения общих членов двух положительных рядов равен конечному, отличному от нуля числу A
limn→+∞anbn=A, то оба ряда сходятся или расходятся одновременно
limn→+∞n2n12+31n10=limn→+∞n2∙n10n12+3=limn→+∞n12n12+3=limn→+∞n12n12n12+3n12=
=limn→+∞1n12n12+3n12=limn→+∞11+3n12=1≠0
(При n→+∞ 3n12→0)
Получено конечное, отличное от нуля число, значит, исследуемый ряд сходится вместе с рядом n=1∞1n10
Ответ: сходится