Исследовать ряды на сходимость n=1∞-1nn+1n2+n+1

Это знакочередующийся ряд. Воспользуемся признаком Лейбница:
1)limn→∞an=limn→∞n+1n2+n+1=limn→∞nn2+1n2n2n2+nn2+1n2=limn→∞1n+1n21+1n+1n2=01=0.
2) В силу того, что степень числителя меньше степени знаменателя, то дробь будет монотонно убывать и для любых n будет выполнено неравенство an>an+1.
В результате, получаем, что искомый ряд сходится по признаку Лейбница.
Проверим ряд на абсолютную/условную сходимость.
Исследуем ряд
n=1∞n+1n2+n+1.
Сравним искомый ряд с расходящимся рядом n=1∞1n