Исследовать на экстремум функцию двух переменных: z=x3+8y2-6xy+1

Найдем частные производные:
∂z∂x=x3+8y2-6xy+1x'=3x2-6y
∂z∂y=x3+8y2-6xy+1y'=16y-6x
Найдем критические точки из системы уравнений:
∂z∂x=0∂z∂y=0 3x2-6y=016y-6x=0
x2-2y=08y-3x=0 y=x224x2-3x=0 y=x22x4x-3=0
Получили критические точки:
M10;0 M234;932
Найдем частные производные второго порядка:
∂2z∂x2=3x2-6yx'=6x
∂2z∂y2=16y-6xy'=16
∂2z∂x∂y=16y-6xx'=-6
Найдем значения частных производных второго порядка в критических точках:
M10;0
A=∂2z∂x2M1=0 B=∂2z∂x∂yM1=-6 C=∂2z∂y2M1=16
Вычислим значение выражения:
AC-B2=-36
Так как AC-B2<0, то в точке M1 глобального экстремума нет.
M234;932
A=∂2z∂x2M1=184 B=∂2z∂x∂yM1=-6 C=∂2z∂y2M1=16
Вычислим значение выражения:
AC-B2=184∙16-36=36
Так как AC-B2>0 и A>0, то в точке M2 минимум.
zmin=zM2=343+8∙9322-6∙34∙932+1=2764+81128-162128+1=101128