Исследовать методом функций Ляпунова устойчивость тривиального решения

Сначала необходимо исследовать линеаризованную систему. Если корни характеристического уравнения будут чисто мнимыми, то для исследования устойчивости тривиального решения используется метод функций Ляпунова. Уравнения первого приближения имеют вид:
x1=x2x2=-2x1
Характеристическое уравнение:
-λ1-2-λ=λ2+2=0
Решим характеристическое уравнение:
λ1,2 =±j2
Получили 2 чисто мнимых корня . Поэтому имеет место критический случай, и по линеаризованной модели нельзя исследовать устойчивость исходной нелинейной системы.
Исследуем устойчивость нелинейной системы методом функций Ляпунова. В качестве кандидата на функцию Ляпунова примем квадратичную форму:
Vx=x12+ax22
Эта функция является положительно определенной.
Производная по времени в силу заданных уравнений имеет вид:
Vx=2x1x1+2ax2x2=2x1x2-5x13+2ax2(-2x1-3x27)
Если принять а=0.5, то получим
Vx=2x1x2-10x14-2x1x2-6x28=-10x14-6x28Эта функция является отрицательно определенной.
В соответствии с теоремой Ляпунова, если для системы дифференциальных уравнений существует знакоопределенная функция, полная производная которой по времени, составленная в силу системы, есть также функция знакоопределенная, знака противоположного, то точка покоя системы асимптотически устойчива