Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления

1) Область определения функции.
Функция определена всюду, кроме точек, в которых знаменатель обращается в ноль:
Таким образом,
2) Четность/нечетность.
В силу не симметричности области определения функции относительно нуля, можно сделать вывод о том, что функция не является ни четной, ни нечетной, т.е. общего вида.
3) Асимптоты:
а) Вертикальные асимптоты.
Рассмотрим точку . Найдем односторонние пределы:
Т.к. пределы бесконечны, то - точка бесконечного разрыва и - вертикальная асимптота.
б) Наклонные асимптоты – это прямые вида , где , при условии, что данные пределы существуют и конечны.
Таким образом, - наклонная асимптота.
4) Точки экстремума, интервалы возрастания/убывания.
Найдем первую производную:
при и не существует при
Найдем интервалы знакопостоянства первой производной:
Таким образом,
- точка максимума, ;
- точка минимума, ;
- интервалы возрастания;
- интервалы убывания.
5) Точки перегиба, интервалы выпуклости/вогнутости
Найдем вторую производную:
при всех допустимых и не существует при .
Найдем интервалы знакопостоянства второй производной:
Таким образом,
точек перегиба нет;
- интервал выпуклости;
- интервал вогнутости
6) Точки пересечения с осями координат:
- с осью , т.е