Исследовать функцию методами дифференциального исчисления и построить её график: y=x+42x

1) Найдём область определения функции, получим:
Данная функция определена во всех точках плоскости, кроме x=0, поэтому область определения выглядит так:
Dy:x∈(-∞;0)∪(0;+∞)
2) Проверим функцию на четность (нечетность):
y-x=-x+42-x≠y(x)≠y(-x)
Делаем вывод, что данная функция является функцией общего вида (ни четная, ни нечетная).
3) Исследуем функцию на наличие экстремумов, для этого вычислим первую производную функции:
y'=x+42x'=(x-4)(x+4)x2
Приравняем производную к нулю:
(x-4)(x+4)x2=0
x-4x+4=0
x1=4, x2=-4
Проанализируем знак первой производной (Рисунок 1):
Рисунок 1-Анализ знака первой производной.
В окрестности точки x =-4 производная функции меняет знак с (+) на (-) . Следовательно, точка x =-4 - точка максимума. В окрестности точки x = 4 производная функции меняет знак с (-) на (+). Следовательно, точка x = 4 - точка минимума.
4) Теперь определим интервалы вогнутости (выпуклости), для этого найдём вторую производную:
y''=2x-2*x2-16x3=32x3
Если приравняем производную к нулю, то полученное уравнение не будет иметь корней.
Проанализируем знак второй производной (Рисунок 2):
Рисунок 2-Анализ знака второй производной.
5) Поскольку функция не определена в точке x=0, найдём пределы справа и слева в данной точке:
limx→0-0x+42x=-∞
limx→0+0x+42x=∞
Делаем вывод, что x=0-точка разрыва второго рода и является вертикальной асимптотой.
Исследуем функцию на наличие наклонной асимптоты, для этого вычислим коэффициенты k и b:
k=limx→∞x+42x*x=limx→∞x2+8x+16x2=1
b=limx→∞x+42x-x=limx→∞x2+8x+16-x2x=limx→∞8+16x1=8+01=8
Тогда наклонная асимптота выглядит так:
y=kx+b=x+8
6) График функции, построенный на основе проведенного исследования, представим на Рисунке 3:
Рисунок 3-График функции.