Исследовать функцию двух переменных на экстремум: u=x2+2y2+4x-8y+3

Найдем критические точки из системы уравнений:
∂z∂x=0∂z∂y=0
∂z∂x=y=const=(x2+2y2+4x-8y+3)x'=2x+4
∂z∂y=x=const=(x2+2y2+4x-8y+3)y'=4y-8
2x+4=04y-8=0 x=-2y=2
Получили критическую точку:
M-2;2
Вычислим частные производные второго порядка:
∂2z∂x2=2x+4x'=2
∂2z∂y2=4y-8y'=4
∂2z∂x∂y=(4y-8)x'=0
Вычислим значение частных производных второго порядка в критической точке:
A=∂2z∂x2M=2 C=∂2z∂y2M=4 B=∂2z∂x∂yM=0
Вычислим значение выражения:
AC-B2=8
Так как AC-B2>0, и A>0 то в точке M минимум
umin=u-2;2=-22+2∙22+4∙-2-8∙2+3=4+8-8-16+3=-9