Исследовать сходимость числового ряда n=1∞n23n!

Так как, в общий член ряда входит факториал и 3n!, необходимо применить признака Д’Аламбера.
Запишем an и an+1 члены ряда:
an=n23n!=n23!∙n!;
an+1=n+123n+1!=n+123!∙n+1!=.
Теперь составляем отношение последующего члена к предыдущему:
an+1an=n+123!∙n+1!:n23!∙n!=n+123!∙n+1!∙3!∙n!n2=n+12n2∙n!n!∙n+1=n+1n2
Вычислим предел этого отношения
limn→∞n+1n2=limn→∞1n+1n2=так какlimn→∞1n=0=limn→∞1n+limn→∞1n2=0<1
На основании признака Д’Аламбера делаем вывод, что ряд сходится.