Исследовать ряд на сходимость n=1∞1-cos1n2*n2n+n+1

Используем первый признак сравнения.
Сравним данный ряд с рядом n=1∞1n2, который сходится
limn→∞anbn=limn→∞1-cos1n2*n2n+n+11n5=limn→∞1-cos1n2*n2*n5n+n+1=1-cos1n2~1n222=12n4=limn→∞12n4*n2*n5n+n+1=limn→∞n52n2n+n+1=12
Получено конечное число, отличное от нуля, значит, исследуемый ряд сходится вместе с рядом  n=1∞1n5.