Исследовать нулевое решение системы на устойчивость с помощью критериев Рауса

Записываем характеристическое уравнение по дифференциальному уравнению:
Dp=p4+9p3+5p2+3p+4=0
а) критерий Рауса
Для того, чтобы система автоматического управления была устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты 1-го столбца таблицы Рауса имели один и тот же знак (в нашем случае, поскольку a0>0 – положительный знак). Имеем: a0=1,a1=9,a2=5,a3=3,a4=4
Заполним таблицу Рауса:
Коэффициенты ri
№ строки Столбцы
I II III
-
1 c11=a0=1
c12=a2=5
c13=a4=4
-
2 c21=a1=9
c22=a3=3
0
r3=a0a1=19
3 c31=a2-r3a3=
=5-19∙3=143
c32=a4-r3a5=
=4-19∙0=4
0
r4=a1c31=2714
4 c41=a3-r4c32=
=3-2714∙4=-337<0
Поскольку в четвертой строке первого столбца появилось отрицательное значение, то расчет прекращаем - система неустойчива.
б) критерий Гурвица
Составляем матрицу Гурвица для характеристического уравнения 4-го порядка:
a1a300a0a2a400a1a300a0a2a4
В нашем случае:
9300154009300154
Для того, чтобы система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все главные диагональных миноры определителя Гурвица были положительны.
Т.е . в нашем случае:
∆1=9>0
∆2=9315=42>0
∆3=930154093=9∙5493-3093=-198<0
Поскольку среди миноров определителя Гурвица есть отрицательные, то система неустойчива.
в) критерий Михайлова
Подставляем в характеристический полином значение p=jω:
Djω=jω4+9jω3+5jω2+3jω+4=ω4-5ω2+4+j3ω-9ω3
Т.е