Исследовать на сходимость ряды n=1∞2n+1n3+1n+1!

Для исследования сходимости, применим признак Даламбера:
an=2n+1n3+1n+1! an+1=2n+2(n+1)3+1n+2!=2∙2n+1n3+3n2+3n+2n+1!(n+2)
limn→∞an+1an=limn→∞2∙2n+1n3+3n2+3n+2n+1!n+2∙n+1!2n+1n3+1=
=limn→∞2n3+3n2+3n+2n+2n3+1=limn→∞2n3+6n2+6n+4n4+2n3+n+2=
Разделим числитель и знаменатель на n4
=limn→∞2n+6n2+6n3+4n41+2n+1n3+2n4=01<1
По признаку Даламбера ряд сходится.
Исследуем на сходимость ряд:
n=1∞bn=n=1∞12n+1ln2(2n+1)
Применим интегральный признак сходимости:
1∞dx2x+1ln22x+1=limA→∞1Adx2x+1ln22x+1=12limA→∞1Adln2x+1ln22x+1=
=-12limA→∞1ln2x+1A1=-12limA→∞1ln2A+1-1ln3=12ln3
Интеграл сходится, значит и сходится ряд с общим членом bn
Для любого значения n:
12n+3ln2(2n+1)<12n+1ln2(2n+1)
Поэтому из сходимости ряда с общим членом bn следует сходимость ряда с общим членом an
Исследуем на сходимость ряд, составленный из модулей исходного ряда:
n=1∞n2n+1n
Применим радикальный признак Коши:
limn→∞nan=limn→∞nn2n+1n=limn→∞n2n+1=12<1
По признаку Коши, ряд составленный из модулей исходного ряда сходится, а значит, исходный ряд сходится абсолютно.