Исследовать на сходимость ряд а) n=1∞n!23n+12n!

N=1∞n!23n+12n!
an=n!23n+12n!
an+1=n+1!23n+1+12n+2!
Используем признак сходимости Даламбера:
limn→∞an+1an=limn→∞n+1!23n+1+12n+2!n!23n+12n!=limn→∞n+1!2*3n+12n!3n+1+12n+2!*n!2=limn→∞3n+1n+123n+1+12n+1=112<1
Следовательно, ряд сходится.
б) n=1∞2n+3n+1n2
Используем радикальный признак сходимости Коши:
limn→∞nan=limn→∞n2n+3n+1n2=limn→∞2n+3n+1n=limn→∞3+1n+1n=∞>1
Следовательно, ряд расходится
в) n=1∞-1n*n3n+1!
Используем признак Лейбница.
1) n=1∞-1n*n3n+1!=-12+43-98+…
Ряд является знакочередующимся.
2) limn→+∞an=limn→+∞n3n+1!=0члены ряда убывают по модулю. Каждый следующий член ряда по модулю меньше, чем предыдущий, значит, убывание монотонно.
Ряд сходится по признаку Лейбница.
Исследуем ряд на абсолютную сходимость:
n=1∞an=n=1∞n3n+1!
an=n3n+1!
an+1=n+13n+2!
Используем признак сходимости Даламбера:
limn→∞an+1an=limn→∞n+13n+2!n3n+1!=limn→∞n+13*n+1!n+2!*n3=limn→∞n+13*n+1n!n+2n+1n!*n3=limn→∞n+13n+2*n3=0<1
Следовательно, ряд сходится абсолютно.