Исследовать на экстремум функцию z=2xy-2x2-4y2

Находим частные производные первого порядка zx' и zy':
zx'=2y-4x,zy'=2x-8y.
Необходимые условия экстремума задаются системой уравнений, из которой определяем стационарные точки:
zx'=0,zy'=0;
-4x+2y=0,2x-8y=0.
M00;0.
Найдем частные производные второго порядка.
zxx''=-4,zyy''=-8,zxy''=2.
Далее в соответствии с достаточным условием экстремума исследуем критические точки по знаку определителя ∆, составленного из частных производных второго порядка в этой точке:
∆=zxx''zxy''zxy''zyy''.
∆M00;0=-422-8=32-4>0, и zxx''<0, то, следовательно, в точке M00;0 функция имеет максимум: zM00;0=0.