Исследовать методами дифференциального исчисления функцию y=f(x)

Функция как многочлен определена на всей числовой оси: x∈-∞;∞
Исследуем функцию на четность:
y-x=-x3-6∙-x2-15∙-x-8=-x3-6x2+15x-8
y-x≠-yx,y-x≠yx
Функция не является четной, не является нечетной. Это функция общего вида
Найдем точки пересечения осями координат
С осью Oyx=0 => y=-8 => (0;-8)
С осью Oxy=0
x3-6x2-15x-8=0
x=-1 - корень. Разделим многочлен на x+1
x3-6x2-15x-8
x+1
x3+x2
x2-7x-8
-7x2-15x-8
-7x2-7x
-8x-8
-8x-8
0
x3-6x2-15x-8=x+1x2-7x-8
x2-7x-8=0
D=49+32=81 => x2=7-92=-1 x3=7+92=8
Точки пересечения: -1;0, (8;0)
Функция как многочлен является непрерывной на всей оси . Асимптоты отсутствуют.
Монотонность и точки экстремума. Найдем точки, в которых первая производная равна нулю:
y'=x3-6x2-15x-8'=3x2-12x-15
3x2-12x-15=0
x2-4x-5=0
D=16+20=36 x1=4-62=-1 x2=4+62=5
Разобьем числовую ось на интервалы:
x
(-∞;-1)
-1 (-1;5)
5 (5;∞)
y'
+ 0 -5 0 +
y
Возрастает max Убывает min Возрастает
При переходе через точку x=-1 производная меняет знак с “+” на “-”, поэтому в данной точке локальный максимум
ymax=y-1=0
При переходе через точку x=5 производная меняет знак с “-” на “+”, поэтому в данной точке локальный минимум
ymin=y5=-108
Выпуклость и точки перегиба