Исследовать функцию методами дифференциального исчисления и построить ее график

Функция определена на всей числовой оси, за исключением точек, в которых знаменатель обращается в нуль.
Область определения функции:
x∈-∞;0∪0;∞
Функция терпит разрыв в точке x=0
Исследуем функцию на наличие вертикальных асимптот. Найдем односторонние переделы в точках разрыва:
limx→0-0x-2x2=0-∞=-∞ limx→0+0x-2x2=0-∞=-∞
x=0 - вертикальная асимптота
Исследуем функцию на наличие наклонных и горизонтальных асимптот
Наклонные асимптоты будем искать в виде y=kx+b
k=limx→∞yxx=limx→∞1-2x3=1
b=limx→∞(y(x)-kx)=limx→∞x-2x2-x=limx→∞-2x2=0
y=x – наклонная асимптота
Исследуем функцию на четность:
y-x=x-2x2=-x-2(-x)2=-x-2x2
y-x≠yx y-x≠-y(x)
Функция не является четной, не является нечетной . Это функция общего вида. Функция не является периодичной.
Найдем интервалы монотонности и экстремумы функции:
Найдём критические точки, т.е. точки в которых производная равна 0 или не существует:
y'=x-2x2'=1+4x3
1+4x3=0 x3=-4 x=3-4≈-1,59
Разобьем числовую ось на интервалы:
x∈-∞;3-4 y'>0 функция возрастает
x∈3-4;0 y'<0 функция убывает
x∈0;∞ y'>0 функция возрастает
При переходе через точку x=3-4 производная меняет знак с плюса на минус, следовательно, в этой точке функция имеет максимум
ymax=y3-4=3-4-2316≈-2,38
Найдем интервалы выпуклости и точки перегиба
Найдём точки, в которых вторая производная равна 0 или не существует
y''=1+4x3'=-12x4
Вторая производная не отрицательна на всей области определения функции.
График функции выпуклый вверх на всей области определения.
Найдем точки пересечения с осями координат:
C осью Oxy=0:
x-2x2=0
x3-2x2=0
x3-2=0 x=32≈1,26
C осью Oyx=0:
Пересечений нет, так как x=0 не входит в область определения.
По результатам исследования построим график функции: