Исследовать данную функцию на экстремум и вычислить значение функции в точках экстремума

Найдем критические точки из системы уравнений:
∂z∂x=0∂z∂y=0
∂z∂x=y=const=(3xy-x2-3y2+x+3)x'=3y-2x+1
∂z∂y=x=const=(3xy-x2-3y2+x+3)y'=3x-6y
3y-2x+1=03x-6y=0 3y-4y=-1x=2y => y=1x=2
Получили критическую точку:
M2;1
Вычислим частные производные второго порядка:
∂2z∂x2=3y-2x+1x'=-2
∂2z∂y2=3x-6yy'=-6
∂2z∂x∂y=(3x-6y)x'=3
Вычислим значение частных производных второго порядка в критических точках:
A=∂2z∂x2M=-2 C=∂2z∂y2M=-6 B=∂2z∂x∂yM=3
Вычислим значение выражения:
AC-B2=12-9=3
Так как AC-B2>0 и A<0 то в точке M имеется максимум
zmax=zM=3∙2∙1-22-3∙12+2+3=4
Ответ:
zmax=z2;1=4