Исследовать числовой ряд на сходимость n=1∞sin2nn2+1

Применим признак сравнения рядов:
n=1∞1n2 -сходящийся обобщенно гармонический ряд, с показателем степени k=2
Так как sin2n≤1, то
sin2nn2+1≤1n2+1
Так как n2<n2+1, то
1n2+1<1n2
Поэтому получаем:
sin2nn2+1≤1n2+1<1n2
Поэтому из сходимости ряда с бо’льшими членами следует сходимость ряда с меньшими членами.
Исходный ряд сходится.
Для исследования сходимости применим радикальный признак Коши:
an=n∙arcsinnπ4n
limn→∞nn∙arcsinnπ4n=limn→∞nn∙arcsinπ4n=1∙0=0<1
При n→∞: arcsinπ4n→0
limn→∞nn=limn→∞elnnn=e0=1
По радикальному признаку Коши ряд сходится.
Для исследования сходимости применим признак Даламбера:
an=3n(n+1)5n an+1=3(n+1)(n+2)5n+1=3(n+1)(n+2)5∙5n
limn→∞an+1an=limn→∞3(n+1)(n+2)5∙5n∙5n3n(n+1)=15limn→∞n2+3n+2n2+n=
=Разделим числитель и знаменатель на n2=15limn→∞1+3n+2n21+1n=15<1
По признаку Даламбера ряд сходится.
Исследуем на сходимость ряд:
n=1∞12nln2n
Применим интегральный признак сходимости:
1∞dx2xln2x=lima→∞1adx2xln2x=12lima→∞1ad(ln(2x))ln2x=12lima→∞lnln2xa1=
=12lima→∞lnln2a-ln2=∞
Так как интеграл расходится, то и рассматриваемый ряд также расходится.
Так как
12n-1ln2n>12nln2n
То исходный ряд расходится одновременно с рассматриваемым рядом