Исследовать числовой ряд на сходимость n=1∞6n+2n+3

Проверим выполнимость обязательного признака сходимости:
an=6n+2n+3
limn→∞an=limn→∞6n+2n+3=Разделим числитель и знаменатель на n=
=limn→∞6+2n1+3n=6
limn→∞an=6≠0
Обязательный признак сходимости ряда не выполняется, поэтому ряд расходится
Для исследования сходимости применим признак Даламбера:
an=4nn2+1 an+1=4n+1(n+1)2+1=4∙4nn2+2n+2
limn→∞an+1an=limn→∞4∙4nn2+2n+2∙n2+14n=4limn→∞n2+1n2+2n+2=Разделим числитель и знаменатель на n2=
=4limn→∞1+1n21+2n+2n2=4>1
limn→∞an+1an>1
По признаку Даламбера ряд расходится.
Это знакочередующийся ряд . Общий член ряда по модулю стремится к нулю
limn→∞15n-1=0
При этом, каждый следующий член ряда меньше предыдущего, как число с большим знаменателем, поэтому убывание монотонно.
По признаку Лейбница ряд сходится.
Исследуем на сходимость ряд, составленный из модулей исходного ряда:
n=1∞15n-1
Сравним данный ряд с расходящимся гармоническим рядом:
an=15n-1 bn=1n
limn→∞bnan=limn→∞5n-1n=limn→∞5-1n=5
Получили конечное отличное от нуля число