Исследование функции с помощью дифференциального исчисления

Y=3x2+x+2x2+x+1.
1)Функция определена и непрерывна на всей числовой прямой, область определения: Df=R.
f-x=3-x2-x+2-x2-x+1=3x2-x+2x2-x+1,
f-x≠fx, f-x≠-fx, значит, данная функция не является четной или нечетной. Очевидно, что функция непериодическая.
2)Асимптоты.
Данная функция определена на всей области определения, то есть не имеет точек разрыва, поэтому, вертикальных асимптот нет.
Наклонная асимптота имеет вид:
y=kx+b, где
k=limx→±∞yxx=limx→±∞3x2+x+2x2+x+1x=0
b=limx±∞yx-kx=limx±∞3x2+x+2x2+x+1-x=limx±∞-x3+2x2+2x2+x+1=±∞.
Наклонных асимптот функция не имеет, но есть горизонтальная асимптота :
y=limx→±∞3x2+x+2x2+x+1=3, то есть, прямая y=3.
3) Точки пересечения графика с координатными осями, интервалы знакопостоянства функции .
С осью ОУ: x=0 ⇒fx=2.
С осью ОХ: y=fx=3x2+x+2x2+x+1=0 ⇒3x2+x+2=0 - полученное уравнение на области действительных чисел корней не имеет, следовательно, график функции ось ОХ не пересекает . Кроме того, на всей области определения функция положительна, то есть, f(x)>0.
4) Возрастание, убывание, экстремумы функции.
(fx)'=y'=3x2+x+2x2+x+1'=
=3x2+x+2'∙x2+x+1-3x2+x+2∙x2+x+1'x2+x+12=
=6x+1∙x2+x+1-3x2+x+2∙2x+1x2+x+12=
=6x3+6x2+6x+x2+x+1-6x3-3x2-2x2-x-4x-2x2+x+12=2x2+2x-1x2+x+12=0 ⇒
⇒ 2x2+2x-1=0; D=4+8=12; D=23 ⇒x1=-12-32 , x2=-12+32 -
критические точки.
Определим знаки f (x) :
+ - +
-12-32 -12+32 X
f(x) возрастает на -∞;-12-32∪-12+32;+∞ и убывает на
-12-32; -12+32