Используя метод Фурье вычислить Ak и Bk − амплитуды собственных колебаний закрепленной струны (k=1-5). Бесплатный доступ к контрольной работе

Реферат.Справочник
Контрольные работы по физике
Используя метод Фурье вычислить Ak и Bk − амплитуды собственных колебаний закрепленной струны (k=1-5)

Используя метод Фурье вычислить Ak и Bk − амплитуды собственных колебаний закрепленной струны (k=1-5) .pdf

Зарегистрируйся в 2 клика в Кампус и получи неограниченный доступ к материалам с подпиской Кампус+ 🔥

Условие

Используя метод Фурье вычислить Ak и Bk − амплитуды собственных колебаний закрепленной струны (k=1-5). ∂2u∂x2=1v2∂2u∂t2, 0<x<2, t≥0, (1) ux=0=0, ux=2=0, (2) ut=0=1-x-12, ∂u∂tt=0=0. (3)

Нужно полное решение этой работы?

Ответ

ux,t=16π3k=1∞1--1kk3cosvπkt2sinπkx2, A1=32π3, A2=0, A3=3227π3, A4=0, A5=32125π3, B1=B2=B3=B4=B5=0.

Решение

Потяни, чтобы посмотреть

Для решения начально-краевой задачи (1) − (3) применим метод Фурье разделения переменных. Будем искать нетривиальное решение задачи в виде произведения
ux,t=Xx∙Tt.
Подставим предполагаемую форму решения в исходное уравнение (1)
X''x∙Tt=1v2X(x)∙T''(t)
Разделим равенство на Xx∙T(t)
X''xXx=T''(t)v2T(t)=-λ=const,
т.к. левая часть равенства зависит только от t, а правая – только от x.
В результате переменные разделяются, и получается два линейных обыкновенных дифференциальных уравнения
X''(x)+λXx=0,
T''t+v2λTt=0,
Подставляя ux,t в виде Xx∙Tt в граничные условия (2), получим
X0⋅Tt=0, X2⋅Tt=0.
Поскольку равенства должны выполняться тождественно, то
X0=0, X2=0.
Таким образом, для функции X(x) получили задачу Штурма-Лиувилля
X''(x)+λXx=0X0=0, X2=0
Общее решение имеет вид
Xx=C1cosλx+C2 sinλx.
Неизвестные коэффициенты C1, C2 найдем из граничных условий
X0=C1=0 X2=C2 sin2λ=0
Получили спектральное уравнение для нахождения собственных значений λ задачи Штурма-Лиувилля
sin2λ=0,
2λ=πk, k=1,2,…
Собственные значения задачи равны
λk=πk22, k=1,2,…
Им соответствуют собственные функции (с точностью до постоянного множителя)
Xkx=sinπkx2, k=1,2,…
Уравнение для функции Tt примет вид
Tk''t+v2πk22Tkt=0,
Tk''t+vπk22Tkt=0.
Общее решение этого уравнения имеет вид
Tkt=Akcosvπkt2+Bksinvπkt2.
Решение ux,t исходной задачи записывается в виде ряда Фурье по собственным функциям
ux,t=k=1∞TktXkx=k=1∞Akcosvπkt2+Bksinvπkt2sinπkx2,
∂u∂t=k=1∞vπk2-Aksinvπkt2+Bkcosvπkt2sinπkx2.
Коэффициенты Ak, Bk этого ряда найдем из начальных условий (3)
u(x,0)=k=1∞Aksinπkx2=1-x-12,
∂u∂tt=0=k=1∞vπk2Bksinπkx2=0.
Учитывая полноту системы собственных функций sinπkx2k=1∞ из второго равенства следует, что
vπk2Bk=0, ⟹ Bk=0 (k=1,2,…)
Из первого равенства следует, что коэффициенты Ak представляют собой коэффициенты разложения функции 1-x-12, в ряд Фурье по собственным функциям sinπkx2k=1∞
Ak=22021-x-12sinπkx2dx=021-x-12-2πkdcosπkx2=
=-2πk1-x-12cosπkx202=0-02cosπkx2-2x-1dx=
=-4πk02x-1 2πkdsinπkx2=-8πk2x-1sinπkx202=0-02sinπkx2dx=
=-16πk3cosπkx202=-16πk3cosπk-1=161--1kπk3.
Таким образом, решение исходной задачи ux,t примет вид
ux,t=k=1∞161--1kπk3cosvπkt2sinπkx2.
Вычислить Ak и Bk − амплитуды собственных колебаний закрепленной струны (k=1-5)
A1=32π3, A2=0, A3=3227π3, A4=0, A5=32125π3.
Bk=0, k=1,2,…
Учитывая, что
1--1k=0, если k=2n-четное, 2, если k=2n+1-нечетное,
искомую функцию можно записать в виде
ux,t=32π3n=0∞12n+13cosvπ2n+1t2sinπ2n+1x2.
Ответ:
ux,t=16π3k=1∞1--1kk3cosvπkt2sinπkx2,
A1=32π3, A2=0, A3=3227π3, A4=0, A5=32125π3,
B1=B2=B3=B4=B5=0.

50% задачи недоступно для прочтения

Переходи в Кампус, регистрируйся и получай полное решение

Получить задачу

Используя метод Фурье вычислить Ak и Bk − амплитуды собственных колебаний закрепленной струны (k=1-5)

Условие

Нужно полное решение этой работы?

Ответ

Решение

Определить молярные теплоемкости газа если его удельные теплоемкости сV =10,4 кДж/(кг·К) и cP = 14,6 кДж/(кг·К).

По тонкому кольцу радиусом 20 см течет ток 100 A

Однородный стержень длиной l = 1 0 м может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси