Используя метод Фурье (разделения переменных), найди u(x,t) - решение начально-краевой задачи для уравнения малых колебаний струны. Бесплатный доступ к контрольной работе

Реферат.Справочник
Контрольные работы по высшей математике
Используя метод Фурье (разделения переменных), найди u(x,t) - решение начально-краевой задачи для уравнения малых колебаний струны

Используя метод Фурье (разделения переменных), найди u(x,t) - решение начально-краевой задачи для уравнения малых колебаний струны .pdf

Зарегистрируйся в 2 клика в Кампус и получи неограниченный доступ к материалам с подпиской Кампус+ 🔥

Условие

Используя метод Фурье (разделения переменных), найди u(x,t) - решение начально-краевой задачи для уравнения малых колебаний струны: utt-9uxx=0 ux,0=7cos3x; utx,0=6cos4x ux0,t=ux2π, t=0

Нужно полное решение этой работы?

Решение

Потяни, чтобы посмотреть

Решаем данную задачу методом разделения переменных:
ux,t=Xx*T(t)
Xx∙T''t-a2X''x∙Tt=0
Для простоты далее скобки опустим. Разделим данное неравенство на a2XxT(t):
X''X=T''a2T
Поскольку слева и справа функции от разных аргументов, тождественное равенство возможно только когда оба выражения равны константе:
X''X=T''a2T=-λ (λ>0)
Получаем два уравнения, запишем первое из них и учтём нулевое граничное условие:
u'x0,t=X'0Tt=0 и u'xl,t=X'lTt=0
Поскольку итоговое решение не тождественный ноль, то X'0=0 и X'l=0.
X''+λX=0X'0=X'l=0.
Получили задачу Штурма – Лиувилля.
рассмотрим 3 случая:
λ<0. т.е. характеристическое уравнение имеет пару действительных корней ±-λ.
Тогда решение имеет вид:
X=C1e--λx+C2e-λx
X'=--λC1e--λx+-λC2e-λx
Из условий:
X'(0)=0⟹0=--λC1+-λC2
X'l=0⟹0=--λC1e-l-λ+-λC2el-λ
Получаем однородную систему линейных уравнений, поскольку, очевидно, что ранг данной системы равен двум, то система не имеет решений, кроме нулевого, следовательно,
y(x)≡0
λ=0
Общее решение имеет вид
X=C1x+C2
X'=C1
X'0=0⟹0=C1
X'l=0⟹0=C1
Т.е . C1=0 ⟹yx=C2.
λ>0, т.е. характерестическое уравнение имеет пару комплексных корней ±λi.
Общее решение можно представить в виде:
X=C1sinλx+C2cosλx
X'=λC1cosλx-λC2sinλx
Из условий:
X'0=0⟹0=C1
X'l=0⟹0=λC1coslλ-λC2sinlλ
Поскольку λ≠0 и C1≠0, то приходим к уравнению
sinlλ=0
Отсюда λ=πn, n=0,1,2…
Таким образом, собственные значения исходной задачи равны
λ=πnl2, n=0,1,2…
Отличные от тождественного нуля решения:
Xnx=Ccosπnxl, n=0,1,2…
В нашей задаче l=2π,
Xnx=Ccosnx2, n=0,1,2…
Второе дифференциальное уравнение из общего равенства XX''=a2TT''=-λ (λ>0):
T''+a2λT=0
Поскольку λ уже найдены, то
T''+a2πnl2T=0, T''+aπnl2T=0
Это обыкновенное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами, характеристическое уравнение имеет пару комплексных корней ±πni

50% задачи недоступно для прочтения

Переходи в Кампус, регистрируйся и получай полное решение

Получить задачу

Используя метод Фурье (разделения переменных), найди u(x,t) - решение начально-краевой задачи для уравнения малых колебаний струны

Условие

Нужно полное решение этой работы?

Решение

Графически и аналитически решить задачу максимизации целевой функции Z

Изделие проверяется на стандартность одним из двух контролеров

Найти проекцию точки М на плоскость M2