Используя инструментальные средства математики найти область сходимости ряда

Воспользуемся признаком Даламбера.
limn→∞xn+12n+1-1∙2n-1xn=x∙limn→∞2n-12n+1=x∙limn→∞2n2n=x<1⟹
⟹-1<x<1.
Проверяем сходимость ряда на концах интервала. Для этого подставляем значения x=-1 и x=1 в исходный ряд.
x=-1
n=1∞xn2n-1=n=0∞-1n2n-1.
Проверим необходимый признак Лейбница:
limn→∞12n-1=1∞=0.
Ряд составленный из абсолютных величин членов ряда n=1∞12n-1 расходится как обобщенный гармонический ряд с показателем k=1