Используя формулу Остроградского вычислить S y2zdxdy+xzdydz+x2ydxdz,

Представим исходный интеграл следующим образом
S y2zdxdy+xzdydz+x2ydxdz=S xzcosα+x2ycosβ+y2zcosγdS.
Тогда по формуле Остроградского
S xzcosα+x2ycosβ+y2zcosγdS=V ∂∂xxz+∂∂yx2y+∂∂zy2zdxdydz=
=V z+x2+y2dxdydz=V zdxdydz+V x2dxdydz+V y2dxdydz.
Имеет смысл перейти к цилиндрическим координатам (ρ, φ, z): 0<ρ<1, 0<φ<π2, 0<z<ρ2; x=ρcosφ, y=ρsinφ, z=z . Якобиан преобразования J=ρ, поэтому
V zdxdydz+V x2dxdydz+V y2dxdydz=V ρzdρdφdz+V ρ3cos2φdρdφdz+V ρ3sin2φdρdφdz
Посчитаем интегралы по-отдельности.
V ρzdρdφdz=0π2dφ01ρdρ0ρ2zdz=120π2dφ01ρ5dρ=1120π2dφ=π24;
V ρ3cos2φdρdφdz=0π2cos2φdφ01ρ3dρ0ρ2dz=0π2cos2φdφ01ρ5dρ=160π2cos2φdφ=
=1120π21+cos2φdφ=1240π21+cos2φd2φ=1242φ+sin2φ 0π2=π24;
V ρ3sin2φdρdφdz=0π2sin2φdφ01ρ3dρ0ρ2dz=0π2sin2φdφ01ρ5dρ=160π2sin2φdφ=
=1120π21-cos2φdφ=1240π21-cos2φd2φ=1242φ-sin2φ 0π2=π24.
Итак,
S y2zdxdy+xzdydz+x2ydxdz=π8.