Используя формулу Муавра вычислить 3-i1-i8

3-i1-i8
z=z1z2=3-i1-i⇒z1=3-i; z2=1-i
3-i1-i8=z18z28 (1)
Так как алгебраическая форма комплексного числа может быть переписана в тригонометрической форме:
, то представим каждое число, записанное в алгебраической форме в тригонометрической форме.
z1=3-i;a=3;b=-1;четвертая четверть
r=a2+b2=32+-12=3+1=2
φ=arctgba=arctg-13=-arctg13=-π6
z1=3-i=2cos-π6+isin-π6
По формуле Муавра:
z18=28∙cos-π6∙8+isin-π6∙8=28∙cos-4π3+isin-4π3
z2=1-i;a=1;b=-1;четвертая четверть
r=a2+b2=12+-12=1+1=2
φ=arctgba=arctg-11=-arctg1=-π4
z2=1-i=2∙cos-π4+isin-π4
По формуле Муавра:
z28=(2)8∙cos-π4∙8+isin-π4∙8=(2)8∙cos-2π+isin-2π
Подставляем z18,z28 в (1) и получаем:
3-i1-i8=z18z28=28∙cos-4π3+isin-4π3(2)8∙cos-2π+isin-2π=
=2828(cos-4π3--2π+i sin-4π3--2π=
=282128(cos-4π3+2π+i sin-4π3+2π=
=2824∙(cos-4π+6π3+i sin-4π+6π3=24∙cos2π3+isin2π3=
=16∙-12+i32=-8+83 i
Ответ:
3-i1-i8=-8+83 i