Используя известные разложения разложить заданную функцию в степенной ряд

Используем разложение:
sin∝=∝1!-∝33!+∝55!+…-1n∝2n+12n+1!.
В данном случае ∝=7x 
sin7x=7x1!-7x33!+7x55!+…-1n7x2n+12n+1!
Конструируем функцию дальше:
sin7xx=1x7x1!-7x33!+7x55!+…-1n7x2n+12n+1!=
=71!-73x23!+75x45!+…-1n72n+1x2n2n+1!
Исследуем ряд на абсолютную сходимость, применив признак Даламбера.
l=limn→∞an+1an=limn→∞72n+3x2n+22n+1!2n+3!72n+1x2n=x2∙limn→∞722n+22n+3=0.
Таким образом l<1 при любом х, следовательно, ряд сходится, причем абсолютно, на всей числовой оси.