Использование модели Эрланга
.pdf
Зарегистрируйся в 2 клика в Кампус и получи неограниченный доступ к материалам с подпиской Кампус+ 🔥
На линию связи поступает поток заявок на передачу речевых сообщений. Для организации речевой связи требуется 64 кбит/с. Пусть: λ — интенсивность поступления заявок, а 1/μ — среднее время их обслуживания. Варианты выбора входных параметров: λ = 1, 2, 3, 4 заявки за 3 минуты, 1/μ=3 минуты. Предположим, что поступление заявок подчиняется пуассоновскому закону, а время обслуживания имеет экспоненциальное распределение. Дать ответы на следующие вопросы:
1. Найти минимальную скорость линии (число каналов v), при котором доля потерянных заявок будет менее 0,1.
2. Для найденного значения v построить диаграмму переходов и выписать систему уравнений статистического равновесия.
3. Найти вероятности стационарных состояний модели, вероятности потерь по времени, а также доли потерянных заявок и потерянного трафика. Далее, используя формулу Литтла, найти среднее число занятых каналов.
4. Поступившая заявка получила отказ в обслуживании. Какова вероятность того, что следующим событием в системе будет поступление новой заявки? Какова для неё вероятность получить отказ в обслуживании?
5. Найти функцию распределения времени до события, следующего после освобождения одного из v занятых каналов. Какова вероятность его осуществления?
6. Найти среднее время до освобождения всех каналов, если новые заявки не поступают.
7. Определить доли времени, когда: а) все v каналов будут свободны; б) будет занято не менее трёх каналов; в) будут свободными не менее двух каналов.
Нужно полное решение этой работы?
Решение
Выберем, например, λ=2 заявки за три минуты. Тогда среднее число потенциальных соединений:
a=λμ=2
1. Доля потерянных заявок для модели Эрланга вычисляется по формуле:
Ev,a=avv!1+a+a22+…+avv!
Найдем минимальное число каналов v, при котором доля потерянных заявок будет менее 0,1. Для этого вычислим значение Ev,a для различного числа каналов, начиная с v=3. Имеем:
- для трех каналов:
E3,2=233!1+2+222+233!=419>0,1
- для четырех каналов:
E4,2=244!1+2+222+233!+244!=221<0,1
Таким образом, минимальное число каналов v, при котором доля потерянных заявок будет менее 0,1, является v=4.
2. Построим диаграмму переходов для числа каналов v=4:
Соответствующая система уравнений статистического равновесия:
λP0=μP1λ+μP1=λP0+2μP2λ+2μP2=λP1+3μP3λ+3μP3=λP2+4μP44μP4=λP3
Подставляя числовые значения (λ=23 вызова в минуту, μ=13), можем записать (дополняем систему нормирующим уравнением):
2P0=P13P1=2P0+2P24P2=2P1+3P35P3=2P2+4P44P4=2P3P0+P1+P2+P3+P4=1
3
. Найдем вероятность отсутствия заявок в системе:
P0=11+a+a22+…+avv!=11+2+222+233!+244!=17
Вероятности остальных состояний (заняты 1-4 линий) определяем по формуле:
Pi=aii!P0
Тогда:
P1=27;P2=27;P3=421;P4=221
Вероятность потерь совпадает с долей занятости всех каналов:
PОтк=P4=221
Доля потерянных заявок (как и доля потерянного трафика) также равняется доле времени занятости всех каналов:
πс=P4=221
Среднее же число потерянных заявок за три минуты составляет:
λπс=2∙221=421
Среднее число занятых каналов, используя формулу Литтла:
m=a1-E4,2=2∙1-221=3821≈1,81
4. Поступившая заявка получила отказ в обслуживании. Какова вероятность того, что следующим событием в системе будет поступление новой заявки? Какова для неё вероятность получить отказ в обслуживании?
Вероятность того, что произойдет j-е событие, определяется соотношением:
pξj≤minξ1,…,ξn=ajk=1nak
где ak – параметр экспоненциального распределения.
Т.е
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
