Исходными данными для работы являются диаграмма надежности объекта, состоящего из десяти элементов (структурная схема), приведенная в таблице 3.1, и три варианта значений интенсивностей отказов элементов структурной схемы, приведенной таблице 3.2. Известно, что интенсивность отказов элементов не зависят от времени (постоянны), что означает, что время до отказа у всех элементов имеет экспоненциальное распределение. Отказ элементов являются неизвестными.
Требуется
Часть 1
1. Изучить методику расчета надежности структурных схем.
2. Выписать функцию надежности структуры (для общего варианта).
3. Для данной структурной схемы (рис. 1) найти формулы для вычисления надежности и вероятности отказа системы, как функции времени t (значения интенсивностей отказов λi, i=1,2,..,10, выбираются из таблицы 1 исходных данных согласно графе «Вариант»).
Часть 2
4. Определить среднее время безотказной работы системы Tc.
Рис. 1
λ1 = 1/200 час-1,
λ2 = 1/300 час-1,
λ3 = 1/400 час-1,
λ4 = 1/400 час-1,
λ5 = 1/500 час-1,
λ6 = 1/200 час-1,
λ7 = 1/300 час-1,
λ8 = 1/100 час-1,
λ9 = 1/200 час-1,
λ10 = 1/300 час-1.
Таблица 1
Нужно полное решение этой работы?
Решение
Вычислим функцию структуры.
На структурной схеме выделим параллельно соединенные элементы А и С, а также последовательно соединенные В (рис. 2).
Рис. 2
Функция структуры:
Ф(х) = [1-(1 – (ФА))·(1 - (ФВ·ФС))]· х10 = [ФА+ФВФС -ФАФВФС]·х10 (1)
ФА(х) = (1- (1 – х1)·(1 – х2)·(1 – х3)) ·х6 = х1х2х3х6 - х2х3х6 - х1х3х6 - х1х2х6 + х2х6 + х1х6 +х3х6, (2)
ФВ(х) = х4х5, (3)
ФС(х) = 1- (1–х7)·(1–х8) ·(1 – х9) = х7х8х9 – х8х9 – х7х9 + х7 + х8+ х9. (4)
Правые части формул (2) - (4) подставим в (1):
Ф(х) = [х1х2х3х6 - х2х3х6 - х1х3х6 - х1х2х6 + х2х6 + х1х6 +х3х6 + (х4х5)( х7х8х9 – х8х9 – х7х9 + х7 + х8+ х9) – (х1х2х3х6 - х2х3х6 - х1х3х6 - х1х2х6 + х2х6 + х1х6 +х3х6)( х4х5)( х7х8х9 – х8х9 – х7х9 + х7 + х8+ х9)]· х10. (5)
Получили функцию надежности структуры (5).
Найдем формулы для вычисления надежности и вероятности отказа системы, как функции времени t.
Если Хi(t) = 1 элемент работает, если Хi(t) = 0 отказ элемента.
Х1(t), …, Х10(t) – независимые случайные величины.
Функция надежности i-го элемента:
Е[Хi(t)] = р i(t) = P(Ti > t) = Ri(t).
Функция надежности системы:
RS(t) = Е[Ф(х)]. (6)
Предполагаем, что интенсивность отказов элементов системы равна λi, i=1,2,..,10, постоянные, это означает:
Fi(t) = P(Ti < t) = 0, при t < 0,
Fi(t) = P(Ti < t) = 1 – e-λit, при t ≥ 0.
Тогда функция надежности i-го элемента:
Ri(t) = e-λit, при t > 0. (7)
Из формул (5) – (7) и из независимости получим функцию надежности системы:
RS(t) = E[[х1х2х3х6 - х2х3х6 - х1х3х6 - х1х2х6 + х2х6 + х1х6 +х3х6 + (х4х5)( х7х8х9 – х8х9 – х7х9 + х7 + х8+ х9) – (х1х2х3х6 - х2х3х6 - х1х3х6 - х1х2х6 + х2х6 + х1х6 +х3х6)( х4х5)( х7х8х9 – х8х9 – х7х9 + х7 + х8+ х9)]· х10] = E[[х1х2х3х6 - х2х3х6 - х1х3х6 - х1х2х6 + х2х6 + х1х6 +х3х6 + х4х5х7х8х9 – х4х5х8х9 – х4·х5х7х9 + х4х5х7 + х4х5х8 + х4х5х9 - -(х1х2х3х4х5х6 - х2х3х4х5х6 - х1х3х4х5х6 - х1х2х4х5х6 + х2х4х5х6 + х1х4х5х6 +х3х4х5х6)( х7х8х9 – х8х9 – х7х9 + х7 + х8+ х9) ]· х10] = E[[х1х2х3х6 - х2х3х6 - х1х3х6 - х1х2х6 + х2х6 + х1х6 +х3х6 + х4х5х7х8х9 – х4х5х8х9 – х4·х5х7х9 + х4х5х7 + х4х5х8 + х4х5х9 – х1х2х3х4х5х6х7х8х9 − х1х2х3х4х5х6х8х9 − х1х2х3х4х5х6х7х9 − х2х3х4х5х6х7х8х9 − 2х1х3х4х5х6х7х8х9 + 2х1х3х4х5х6х8х9 + 2х1х3х4х5х6х7х9 + х2х3х4х5х6х8х9 + х2х3х4х5х6х7х9 + х1х2х3х4х5х6х8 + х1х2х3х4х5х6х9 + х1х2х3х4х5х6х7х8 + х2х4х5х6х7х8х9 + 1х4х5х6х7х8х9 + х3х4х5х6х7х8х9 − 2х1х3х4х5х6х7 − 2х1х3х4х5х6х8 − 2х1х3х4х5х6х9 − х2х3х4х5х6х7 − х2х4х5х6х8х9 − х2х4х5х6х7х9 − х2х3х4х5х6х8 − х1х4х5х6х8х9 − х1х4х5х6х7х9 − х2х3х4х5х6х9 − х3х4х5х6х8х9 − х3х4х5х6х7х9 + х1х4х5х6х7 + х1х4х5х6х8 + х1х4х5х6х9 + х2х4х5х6х7 + х2х4х5х6х8 + х2х4х5х6х9 + х3х4х5х6х7 + х3х4х5х6х8 + х3х4х5х6х9]·х10] = E[х1х2х3х6х10 - х2х3х6х10 - х1х3х6х10 - х1х2х6х10+ х2х6х10 + х1х6х10 +х3х6х10 + х4х5х7х8х9х10 – х4х5х8х9х10 – х4х5х7х9х10 + х4х5х7х10 + х4х5х8х10 + х4х5х9х10 – х1х2х3х4х5х6х7х8х9х10 − х1х2х3х4х5х6х8х9х10 − х1х2х3х4х5х6х7х9х10 − х2х3х4х5х6х7х8х9х10 − 2х1х3х4х5х6х7х8х9х10 + 2х1х3х4х5х6х8х9х10 + 2х1х3х4х5х6х7х9х10 + х2х3х4х5х6х8х9х10 + х2х3х4х5х6х7х9х10 + х1х2х3х4х5х6х8х10 + х1х2х3х4х5х6х9х10 + х1х2х3х4х5х6х7х8х10 + х2х4х5х6х7х8х9х10 + 1х4х5х6х7х8х9х10 + х3х4х5х6х7х8х9х10 − 2х1х3х4х5х6х7х10 − 2х1х3х4х5х6х8х10 − 2х1х3х4х5х6х9х10 − х2х3х4х5х6х7х10 − х2х4х5х6х8х9х10 − х2х4х5х6х7х9х10 − х2х3х4х5х6х8 х10 − х1х4х5х6х8х9х10 − х1х4х5х6х7х9х10 − х2х3х4х5х6х9х10 − х3х4х5х6х8х9х10 − х3х4х5х6х7х9х10 + х1х4х5х6х7х10 + х1х4х5х6х8х10 + х1х4х5х6х9х10 + х2х4х5х6х7х10 + х2х4х5х6х8х10 + х2х4х5х6х9х10 + х3х4х5х6х7х10+ х3х4х5х6х8х10 + х3х4х5х6х9х10] =
< в силу независимости Е[Хi(t)] = Ri(t)> = [R1(t)R2(t)R3(t)R6(t)R10(t) - R2(t)R3(t)R6(t)R10(t) - R1(t)R3(t)R6(t)R10(t) - R1(t)R2(t)R6(t)R10(t) + R2(t)R6(t)R10(t) + R1(t)R6(t)R10(t) + R3(t)R6(t)R10(t) + R4(t)R5(t)R7(t)R8(t)R9(t)R10(t) – R4(t)R5(t)R8(t)R9(t)R10(t) – R4(t)R5(t)R7(t)R9(t)R10(t) + R4(t)R5(t)R7(t)R10(t) + R4(t)R5(t)R8(t)R10(t) + R4(t)R5(t)R9(t)R10(t) – R1(t)R2(t)R3(t)R4(t)R5(t)R6(t)R7(t)R8(t)R9(t)R10(t) − R1(t)R2(t)R3(t)R4(t)R5(t)R6(t)R8(t)R9(t)R10(t) − R1(t)R2(t)R3(t)R4(t)R5(t)R6(t)R7(t)R9(t)R10(t) − R2(t)R3(t)R4(t)R5(t)R6(t)R7(t)R8(t)R9(t)R10(t) − 2R1(t)R3(t)R4(t)R5(t)R6(t)R7(t)R8(t)R9(t)R10(t) + 2R1(t)R3(t)R4(t)R5(t)R6(t)R8(t)R9(t)R10(t) + 2R1(t)R3(t)R4(t)R5(t)R6(t)R7(t)R9(t)R10(t) + R2(t)R3(t)R4(t)R5(t)R6(t)R8(t)R9(t)R10(t) + R2(t)R3(t)R4(t)R5(t)R6(t)R7(t)R9(t)R10(t) + R1(t)R2(t)R3(t)R4(t)R5(t)R6(t)R8(t)R9(t)R10(t) + R1(t)R2(t)R3(t)R4(t)R6(t)R5(t)R9(t)R10(t) + R1(t)R2(t)R3(t)R4(t)R5(t)R6(t)R7(t)R8(t)R10(t) + R2(t)R3(t)R4(t)R5(t)R6(t)R7(t)R8(t)R9(t)R10(t) + R1(t)R4(t)R5(t)R6(t)R7(t)R8(t)R9(t)R10(t) + R3(t)R4(t)R5(t)R6(t)R7(t)R8(t)R9(t)R10(t) − 2R1(t)R3(t)R4(t)R5(t)R6(t)R7(t)R9(t)R10(t) − 2R1(t)R3(t)R4(t)R5(t)R6(t)R8(t)R9(t)R10(t) − 2 R1(t)R3(t)R4(t)R5(t)R6(t)R9(t)R10(t) − R2(t)R3(t)R4(t)R5(t)R6(t)R7(t)R10(t) − R2(t) R4(t)R5(t)R6(t)R8(t)R9(t)R10(t) − R2(t)R4(t)R5(t)R6(t)R7(t)R9(t)R10(t) − R2(t)R3(t)R4(t)R5(t)R6(t)R8(t)R10(t) − R1(t)R4(t)R5(t)R6(t)R8(t)R9(t)R10(t) − R1(t)R4(t)R5(t)R6(t)R7(t)R9(t)R10(t) − R2(t)R3(t)R4(t)R5(t)R6(t)R9(t)R10(t) − R3(t)R4(t)R5(t)R6(t)R8(t)R9(t)R10(t) − R3(t)R4(t)R5(t)R6(t)R7(t)R9(t)R10(t) + R1(t)R4(t)R5(t)R6(t)R7(t)R10(t) + R1(t)R4(t)R5(t)R6(t)R8(t)R10(t) + R1(t)R4(t)R5(t)R6(t)R9(t)R10(t) + R2(t)R4(t)R5(t)R6(t)R7(t)R10(t) + R2(t)R4(t)R5(t)R6(t)R8(t)R10(t) + R2(t)R4(t)R5(t)R6(t)R9(t)R10(t) + R3(t)R4(t)R5(t)R6(t)R7(t)R10(t) + R3(t)R4(t)R5(t)R6(t)R8(t)R10(t) + R3(t)R4(t)R5(t)R6(t) R9(t)R10(t)] = [e–(λ1+λ2+λ3+λ6+λ10) - e–(λ2+λ3+λ6+λ10) - e–(λ1+λ3+λ6+λ10) – e-(λ1+λ2+λ6+λ10) + e–(λ2+λ6+λ10) + e–(λ1+λ6+λ10) + e–(λ3+λ6+λ10) + e–(λ4+λ5+λ7+λ8+λ9+λ10) – e–(λ4+λ5+ +λ8+λ9+λ10) – e–(λ4+λ5+λ7+λ9+λ10) + e–(λ4+λ5+λ7+λ10) + e–(λ4+λ5+λ8+λ10) + e–(λ4+λ5+λ9+λ10) –
e-(λ1+λ2+λ3+λ4+λ5+λ6+λ7+λ8+λ9+λ10) − e-(λ1+λ2+λ3+λ4+λ5+λ6+λ8+λ9+λ10) − e-(λ1+λ2+λ3+λ4+λ5+λ6+λ7+λ9+λ10) − e-(λ2+λ3+λ4+λ5+λ6+λ7+λ8+λ9+λ10) − e-(2+λ1+λ3+λ4+λ5+λ6+λ7+λ8+λ9+λ10) + e-(2+λ1+λ3+λ4+λ5+λ6+λ8+λ9+λ10) + e-(2+λ1+λ3+λ4+λ5+λ6+λ7+λ9+λ10) + e-(λ2+λ3+λ4+λ5+λ6+λ8+λ9+λ10) + e-(λ2+λ3+λ4+λ5+λ6+λ7+λ9+λ10) +
+e-(λ1+λ2+λ3+λ4+λ5+λ6+λ8+λ10) + e-(λ1+λ2+λ3+λ4+λ5+λ6+λ9+λ10) + e-(λ1+λ2+λ3+λ4+λ5+λ6+λ7+λ8+λ10) +
+e-(λ2+λ4+λ5+λ6+λ7+λ8+λ9+λ10) + e-(λ1+λ4+λ5+λ6+λ7+λ8+λ9+λ10) + e-(λ3+λ4+λ5+λ6+λ7+λ8+λ9+λ10) –
-e-(2+λ1+λ3+λ4+λ5+λ6+λ7+λ10) − e-(2+λ1+λ3+λ4+λ5+λ6+λ8+λ10) − e-(2+λ1+λ3+λ4+λ5+λ6+λ9+λ10) –
-e-(λ2+λ3+λ4+λ5+λ6+λ7+λ10) − e-(λ2+λ4+λ5+λ6+λ8+λ9+λ10) − e-(λ2+λ4+λ5+λ6+λ7+λ9+λ10) –
-e-(λ2+λ3+λ4+λ5+λ6+λ8+λ10) − e-(λ1+λ4+λ5+λ6+λ8+λ9+λ10) − e-(λ1+λ4+λ5+λ6+λ7+λ9+λ10) –
-e-(λ2+λ3+λ4+λ5+λ6+λ9+λ10) − e-(λ3+λ4+λ5+λ6+λ8+λ9+λ10) − e-(λ3+λ4+λ5+λ6+λ7+λ9+λ10) +
+e-(λ1+λ4+λ5+λ6+λ7+λ10) + e-(λ1+λ4+λ5+λ6+λ7+λ8+λ10) + e-(λ1+λ4+λ5+λ6+λ9+λ10) + e-(λ2+λ4+λ5+λ6+λ7+λ10) +
+e-(λ2+λ4+λ5+λ6+λ8+λ10) + e-(λ2+λ4+λ5+λ6+λ9+λ10) + e-(λ3+λ4+λ5+λ6+λ7+λ10) + e-(λ3+λ4+λ5+λ6+λ8+λ10) +
+e-(λ3+λ4+λ5+λ6+λ9+λ10)]
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
