Имеются следующие данные по уровням временного ряда

1)
Линейную модель регрессии Y от t построим в Excel с помощью подбора линии тренда по графику исходных данных. Отобразим на графике уравнение регрессии и коэффициент аппроксимации R^2.
Получаем график исходного временного ряда, график и модель линейного тренда.
Запишем модель тренда:
T(t) = 37,924 + 2,0629*t
2) Адекватность и точность построенной модели
Вычисляем расчетные значения тренда по уравнению T(t) = 37,924 + 2,0629*t
Вычисляем остаточную компоненту по формуле εt = Yt - Т(t)
Остаточная компонента – это расхождение уровней, рассчитанных по модели, и фактических наблюдений
Адекватность модели оценивается путем исследования свойств остаточной компоненты.
Рассчитаем в Excel свойства полученной для нашего временного ряда остаточной компоненты:
Проверка равенства нулю математического ожидания остатков уровней ряда по критерию Стьюдента.
Проверяется нулевая гипотеза .
Рассчитывается значение t-статистики
– среднее арифметическое значение остатков ; вычисляем в Excel с помощью функции СРЗНАЧ
= 0,00048
– среднеквадратическое отклонение остатков ; вычисляем в Excel с помощью функции СТАНДОТКЛОН.В
S = 2,7977
Таким образом, получаем t-статистику
tрасч=0,000482,7977*12≈0,0006
Критерий Стьюдента tα, вычислим для входных данных α = 0,05 и = n – 1 =12 – 1 = 11 с помощью функции СТЬЮДРАСПОБР
tα,=2,20
Так как tрасч<tα, ( 0,0006 < 2,20 ) то нулевая гипотеза подтверждается . Математическое ожидание остатков уровней ряда равно нулю.
Проверка случайности остаточной компоненты по критерию пиков.
Проведем проверку на основе анализа поворотных точек.
Отобразим остатки на графике
Количество поворотных точек в остатках р = 6
Проверяется гипотеза о том, что остатки неслучайны.
Критическое число поворотных точек вычислим по формуле для n = 12
pкр=23∙n-2-1,9616n-2990=4,029
Так как фактическое число поворотных точек p = 6 больше чем критическое pкр=4,029 , то гипотезу о неслучайности остатков отклоняем. Свойство случайности остатков выполняется.
Проверка независимости уровней ряда остатков по критерию Дарбина-Уотсона и коэффициенту корреляции первого порядка.
Проверяется отсутствие в ряду остатков систематической составляющей (отсутствие автокорреляции).
Критерий Дарбина-Уотсона
Расчетная статистика вычисляется по формуле
d=179,169382,0477=2,184
Воспользуемся приблизительным правилом, в соответствии с которым можно считать, что автокорреляция остатков отсутствует, если 1,5 < d < 2,5. Наша расчетная статистика d = 2,184 попадает в интервал. По критерию Дарбина-Уотсона остатки независимы.
Коэффициент автокорреляции первого порядка r(1).
С помощью функции КОРРЕЛ рассчитывается коэффициент корреляции между рядами остатков (t) и (t-1)
r(1) = – 0,067
Критическое значение коэффициента автокорреляции rcrit(1) = 0,36.
Так как | r(1) | < rcrit(1) , делаем вывод об отсутствии автокорреляции в остатках, остатки независимы.
Проверка нормальности распределения остаточной компоненты по RS-критерию с критическими уровнями 2,7 – 3,7.
Расчетное значение критерия RS=max –min /
max – максимальный уровень ряда остатков, max = 3,8244 ;
min – минимальный уровень ряда остатков, min = – 6,2385 ;
– среднеквадратическое отклонение, вычислено выше S = 2,7977 .
RS=3,8244-(-6,2385)2,7977=3,5968
Расчетное значение критерия попадает в интервал (2,7 – 3,7), следовательно, выполняется свойство нормальности распределения остатков.
Соберем данные анализа остатков в таблице
Проверяемое свойство Используемые статистики Проверка Вывод
наименование расчетное значение
Независимость d-критерий
Дарбина–Уотсона d = 2,184 1,5 < d < 2,5 адекватна
коэффициент автокорреляции r(1) | r(1) | = 0,067 | r(1) | < rкрит(1) = 0,36
Случайность Критерий пиков
(поворотных точек) р = 6 р > pкрит = 4 адекватна
Нормальность RS-критерий RS = 3,5968 2,6 < RS < 3,7 адекватна
Равенство нулю среднего t-статистика Стьюдента t = 0,0006 t < tкрит = 2,20 адекватна
Вывод: Модель статистически адекватна
Оценка точности построенной модели.
Рассчитаем среднюю ошибку аппроксимации по формуле:
εотнос=1n∙t=1nεtYt×100%
εотнос=112∙0,4591×100%=3,83%
Средняя ошибка аппроксимации считается допустимой, если она не превышает 8-10%