Имеются поквартальные данные о численности занятых на предприятиях машиностроения в некотором городе

Построим графическое изображение временного ряда по данным за кварталы.
На графике наглядно видно наличие убывающей тенденции. Возможно существование линейного, степенного тренда.
Для расчета коэффициентов автокорреляции 1 порядка воспользуемся вспомогательной таблицей
t Y(t) Y(t+1) Y(t)^2 Y(t+1)^2 Y(t)*Y(t+1)
1 232 220 53824 48400 51040
2 220 209 48400 43681 45980
-3 209 197 43681 38809 41173
4 197 187 38809 34969 36839
5 187 175 34969 30625 32725
6 175 164 30625 26896 28700
7 164 155 26896 24025 25420
8 155 146 24025 21316 22630
9 146        
Сумма 1539 1453 301229 268721 284507
Найдем коэффициент автокорреляции первого порядка по формуле
r(1)=(n-1)t=1n-1ytyt+1-t=1n-1ytt=1n-1yt+1(n-1)t=1n-1yt2-(t=1n-1yt)2*(n-1)t=1n-1yt+12-(t=1n-1yt+1)2
r(1)=9-1*284507-1539*14539-1301229-1539*1539*(9-1)268721-1453*1453 = 2276056-2236167203,25*196,36=0,999
Такое значение коэффициента автокорреляции первого порядка говорит о том, что во временном ряду существует ярко выраженная линейная тенденция.
Для выявления основной тенденции используем метод МНК
Линейная зависимость
Получим систему уравнений
na+bt=ytat+b(t)2=tyt
Выполним дополнительные расчеты и сведем их в таблицу
t y t2 ty y2
1 232 1 232 53824
2 220 4 440 48400
3 209 9 627 43681
4 197 16 788 38809
5 187 25 935 34969
6 175 36 1050 30625
7 164 49 1148 26896
8 155 64 1240 24025
9 146 81 1314 21316
сумма 1685 285 7774 322545
9a+45b=168545a+285b=7774
a=241,47, b=-10,85 .
Таким образом, модель имеет вид
Yt=241,47-10,85t
Где Yt – расчетное значение. Сумма квадратов RRS = 12,21
Степенная зависимость
Для степенной зависимости yt=a* xb система нормальных уравнений будет иметь вид
ln⁡(a)ln⁡(t)+b(lnt)2=ln⁡(yt)ln⁡(t)n*ln⁡(a)+bln⁡(t)=ln⁡(yt)
Выполним дополнительные расчеты
t y t2 ty Ln(t) (lnt)2
ln⁡(y)
lnyln⁡(t)
1 232 1 232 0,000 0,000 5,447 0,000
2 220 4 440 0,693 0,480 5,394 3,739
3 209 9 627 1,099 1,207 5,342 5,869
4 197 16 788 1,386 1,922 5,283 7,324
5 187 25 935 1,609 2,590 5,231 8,419
6 175 36 1050 1,792 3,210 5,165 9,254
7 164 49 1148 1,946 3,787 5,100 9,924
8 155 64 1240 2,079 4,324 5,043 10,488
9 146 81 1314 2,197 4,828 4,984 10,950
сумма 1685 285 7774 12,802 22,348 46,989 65,966
lna*12,208+b*22,348=65,9669*lna+b*12,802=46,989
Ln(a)=5,5212 a=249,9318
b=-0,211
степенная зависимость имеет вид yt=249,93t-0,211 RSS=826,2611
Так как RSS (сумма квадратов остатков, не объясненная уравнением регрессии) для степенной зависимости значительно больше, чем для линейной зависимости, то в качестве основной гипотезы о виде зависимости выберем гипотезу о линейной зависимости (линейном тренде).
С вероятностью 95% построим прогноз численности занятых на предприятиях на ближайший квартал
Построим точечный прогноз Yt=241,47-10,85t
При t10=10
Y*=241,47-10,85*10=132,97
Стандартная ошибка оценки индивидуального значения зависимой переменной у* будет равна: se(Y*)=s2(1+1n+(x*-x)2nSx2)
se(Y*)=1,7424(1+19+(10-5)259,99) = 1,63
найдем квантиль распределения Стьюдента, соответствующей доверительной вероятности 0,95 tγ=t0.957=2,36
Доверительный интервал для индивидуального значения результативного признака будет равен
132,97-2,36*1,63 <у10<132,97+2,36*1,63
129,123 <у10<136,817
С вероятностью 0,95 можно утверждать, что прогнозное значение численности занятых на ближайший квартал не выйдет за пределы интервала (129,123; 136,817)