Имеются данные о выпуске продукции на предприятии (тыс. руб.) за 1993- 2002 г.г.
год Объем платных услуг, млн. руб. год Объем платных услуг, млн. руб
1993 16,1 1998 18,4
1994 18,3 1999 20,5
1995 13,6 2000 19,2
1996 14,6 2001 21,5
1997 16,1 2002 25
Требуется:
1. Проверить гипотезу о наличии тренда во временном ряде.
2. Рассчитать коэффициенты автокорреляции. Проверить наличие сезонных колебаний во временном ряде.
3. Оценить параметры линейной трендовой модели, проверить статистическую значимость соответствующего уравнения регрессии с надежностью 0,99.
4. Дать точечный и интервальный прогноз выпуска продукции на 2006 г. с надежностью 0,99.
Решение
1. Проверим гипотезу о наличии тренда во временном ряде.
Для проверки гипотезы о наличии тренда воспользуемся критерием серий. Вычислим выборочную медиану исходных данных:
Ме (yt) = (16,1+18,4)/2=17,25 д.е.
Вместо исходных элементов временного ряда Х(t) сформируем последовательность знаков:
+, если yt > Me, −, если yt < Me.
Полученные результаты для временного ряда оформим в виде таблицы:
t yt
1 16,1 -
2 18,3 +
3 13,6 -
4 14,6 -
5 16,1 -
6 18,4 +
7 20,5 +
8 19,2 +
9 21,5 +
10 25 +
Вычислим характеристики данной последовательности: количество серий – ν, длину максимальной серии – τ: ν =4, τ = 5.
Проверим удовлетворяют ли эти значения неравенствам:
vкр = 0,5(10 + 1 – 2,58) = 1<4
τ кр = 3.3(ln(10) + 1) = 6>5
Таким образом, гипотеза об отсутствии тренда принимается.
2. Рассчитаем коэффициенты автокорреляции. Проверим наличие сезонных колебаний во временном ряде.
Расчет коэффициента автокорреляции 1-го порядка.
Выборочные средние.
EQ \x\to(x) = \f(∑xi;n) = \f(158.3;9) = 17.59
EQ \x\to(y) = \f(∑yi;n) = \f(167.2;9) = 18.58
EQ \x\to(xy) = \f(∑xiyi;n) = \f(2994.47;9) = 332.72
Выборочные дисперсии:
EQ S2(x) = \f(∑x2i;n) - \x\to(x)2 = EQ \f(2841.13;9) - 17.59\s\up4(2) = 6.31
EQ S2(y) = \f(∑y2i;n) - \x\to(y)2 = EQ \f(3206.92;9) - 18.58\s\up4(2) = 11.19
Среднеквадратическое отклонение.
EQ S(x) = \r(S2(x)) = \r(6.31) = 2.51
EQ S(y) = \r(S2(y)) = \r(11.19) = 3.35
Линейный коэффициент автокорреляции rt,t-1:
EQ rt,t-1 = EQ \f(\x\to(xt • xt-1) -\x\to(xt) • \x\to(xt-1) ;S(xt) • S(xt-1)) = EQ \f(332.72 - 17.59 • 18.58;2.51 • 3.35) = 0.709
Связи между признаками могут быть слабыми и сильными (тесными).
Их критерии оцениваются по шкале Чеддока:
< rt,t-1 < 0.3: слабая;
0.3 < rt,t-1 < 0.5: умеренная;
0.5 < rt,t-1 < 0.7: заметная;
0.7 < rt,t-1 < 0.9: высокая;
0.9 < rt,t-1 < 1: весьма высокая;
В нашем примере связь между рядами - высокая и прямая.
x y x2 y2 x • y
16.1 18.3 259.21 334.89 294.63
18.3 13.6 334.89 184.96 248.88
13.6 14.6 184.96 213.16 198.56
14.6 16.1 213.16 259.21 235.06
16.1 18.4 259.21 338.56 296.24
18.4 20.5 338.56 420.25 377.2
20.5 19.2 420.25 368.64 393.6
19.2 21.5 368.64 462.25 412.8
21.5 25 462.25 625 537.5
∑=158,3 ∑=167,2 ∑=2841,13 ∑=3206,92 ∑=2994,47
Сдвигаем исходный ряд на 2 уровней. Получаем следующую таблицу:
yt
yt - 2
16.1 13.6
18.3 14.6
13.6 16.1
14.6 18.4
16.1 20.5
18.4 19.2
20.5 21.5
19.2 25
Расчет коэффициента автокорреляции 2-го порядка.
Выборочные средние.
EQ \x\to(x) = \f(∑xi;n) = \f(136.8;8) = 17.1
EQ \x\to(y) = \f(∑yi;n) = \f(148.9;8) = 18.61
EQ \x\to(xy) = \f(∑xiyi;n) = \f(2577.82;8) = 322.23
Выборочные дисперсии:
EQ S2(x) = \f(∑x2i;n) - \x\to(x)2 = EQ \f(2378.88;8) - 17.1\s\up4(2) = 4.95
EQ S2(y) = \f(∑y2i;n) - \x\to(y)2 = EQ \f(2872.03;8) - 18.61\s\up4(2) = 12.58
Среднеквадратическое отклонение
.
EQ S(x) = \r(S2(x)) = \r(4.95) = 2.22
EQ S(y) = \r(S2(y)) = \r(12.58) = 3.55
Линейный коэффициент автокорреляции rt,t-2:
EQ rt,t-2 = EQ \f(\x\to(xt • xt-2) -\x\to(xt) • \x\to(xt-2) ;S(xt) • S(xt-2)) = EQ \f(322.23 - 17.1 • 18.61;2.22 • 3.55) = 0.501
x y x2 y2 x*y
16.1 13.6 259.21 184.96 218.96
18.3 14.6 334.89 213.16 267.18
13.6 16.1 184.96 259.21 218.96
14.6 18.4 213.16 338.56 268.64
16.1 20.5 259.21 420.25 330.05
18.4 19.2 338.56 368.64 353.28
20.5 21.5 420.25 462.25 440.75
19.2 25 368.64 625 480
∑=136.8 ∑=148.9 ∑=2378.88 ∑=2872.03 ∑=2577.82
Сдвигаем исходный ряд на 3 уровней. Получаем следующую таблицу:
yt
yt - 3
16.1 14.6
18.3 16.1
13.6 18.4
14.6 20.5
16.1 19.2
18.4 21.5
20.5 25
Расчет коэффициента автокорреляции 3-го порядка.
Выборочные средние.
EQ \x\to(x) = \f(∑xi;n) = \f(117.6;7) = 16.8
EQ \x\to(y) = \f(∑yi;n) = \f(135.3;7) = 19.33
EQ \x\to(xy) = \f(∑xiyi;n) = \f(2296.45;7) = 328.06
Выборочные дисперсии:
EQ S2(x) = \f(∑x2i;n) - \x\to(x)2 = EQ \f(2010.24;7) - 16.8\s\up4(2) = 4.94
EQ S2(y) = \f(∑y2i;n) - \x\to(y)2 = EQ \f(2687.07;7) - 19.33\s\up4(2) = 10.27
Среднеквадратическое отклонение.
EQ S(x) = \r(S2(x)) = \r(4.94) = 2.22
EQ S(y) = \r(S2(y)) = \r(10.27) = 3.21
Линейный коэффициент автокорреляции rt,t-3:
EQ rt,t-3 = EQ \f(\x\to(xt • xt-3) -\x\to(xt) • \x\to(xt-3) ;S(xt) • S(xt-3)) = EQ \f(328.06 - 16.8 • 19.33;2.22 • 3.21) = 0.47
x y x2 y2 x*y
16.1 14.6 259.21 213.16 235.06
18.3 16.1 334.89 259.21 294.63
13.6 18.4 184.96 338.56 250.24
14.6 20.5 213.16 420.25 299.3
16.1 19.2 259.21 368.64 309.12
18.4 21.5 338.56 462.25 395.6
20.5 25 420.25 625 512.5
∑=117.6 ∑=135.3 ∑=2010.24 ∑=2687.07 ∑=2296.45
Сдвигаем исходный ряд на 4 уровней. Получаем следующую таблицу:
yt
yt - 4
16.1 16.1
18.3 18.4
13.6 20.5
14.6 19.2
16.1 21.5
18.4 25
Расчет коэффициента автокорреляции 4-го порядка.
Выборочные средние.
EQ \x\to(x) = \f(∑xi;n) = \f(97.1;6) = 16.18
EQ \x\to(y) = \f(∑yi;n) = \f(120.7;6) = 20.12
EQ \x\to(xy) = \f(∑xiyi;n) = \f(1961.2;6) = 326.87
Выборочные дисперсии:
EQ S2(x) = \f(∑x2i;n) - \x\to(x)2 = EQ \f(1589.99;6) - 16.18\s\up4(2) = 3.1
EQ S2(y) = \f(∑y2i;n) - \x\to(y)2 = EQ \f(2473.91;6) - 20.12\s\up4(2) = 7.64
Среднеквадратическое отклонение.
EQ S(x) = \r(S2(x)) = \r(3.1) = 1.76
EQ S(y) = \r(S2(y)) = \r(7.64) = 2.76
Линейный коэффициент автокорреляции rt,t-4:
EQ rt,t-4 = EQ \f(\x\to(xt • xt-4) -\x\to(xt) • \x\to(xt-4) ;S(xt) • S(xt-4)) = EQ \f(326.87 - 16.18 • 20.12;1.76 • 2.76) = 0.27
x y x2 y2 x*y
16.1 16.1 259.21 259.21 259.21
18.3 18.4 334.89 338.56 336.72
13.6 20.5 184.96 420.25 278.8
14.6 19.2 213.16 368.64 280.32
16.1 21.5 259.21 462.25 346.15
18.4 25 338.56 625 460
∑=97.1 ∑=120.7 ∑=1589.99 ∑=2473.91 ∑=1961.2
Таблица - Коррелограмма
Лаг (порядок) rt,t-L Коррелограмма
1 0.7087 ****
2 0.5011 ***
3 0.4696 **
4 0.2697 **
Вывод: в данном ряду динамики имеется тенденция (rt,t-1 = 0.709 → 1)
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
