Имеются данные о среднегодовой стоимости основных производственных средств и рентабельности продаж на предприятиях города

Можно предположить, что рентабельность продаж зависит от среднегодовой стоимости ОПС. Значит среднегодовая стоимость ОПС – это факторный признак (х), а рентабельность продаж – результативный (y). Составим таблице, отсортировав стоимость ОПС по возрастанию.
Таблица 47.1 – Зависимость между среднегодовой стоимостью ОПС и рентабельностью продаж
№ х y
1 17,16 8,7
2 27,29 11,5
3 36,96 8,9
4 36,96 8,9
5 49,63 14,2
6 53,81 12,3
7 53,81 12,3
8 58,42 15,3
9 59,4 17,2
10 59,96 15,7
11 59,96 15,7
12 80,83 18,4
13 80,83 18,4
14 91,43 17,3
15 184,33 25,9
16 258,62 28,2
17 391,27 24,7
Графически зависимость представим на рисунке 47.1.
Рис. 47.1 - Зависимость между среднегодовой стоимостью ОПС и рентабельностью продаж
При малых выборках линейный коэффициент корреляции исчисляют по формуле:
,
где r – коэффициент корреляции;
x, y – значения изучаемых признаков;
n – численность совокупности.
Составим для его расчета таблицу 47.2.
Таблица 47.2 – Данные для расчета коэффициента корреляции
№ х y xy x2 y2
1 17,16 8,7 149,292 294,4656 75,69
2 27,29 11,5 313,835 744,7441 132,25
3 36,96 8,9 328,944 1366,042 79,21
4 36,96 8,9 328,944 1366,042 79,21
5 49,63 14,2 704,746 2463,137 201,64
6 53,81 12,3 661,863 2895,516 151,29
7 53,81 12,3 661,863 2895,516 151,29
8 58,42 15,3 893,826 3412,896 234,09
9 59,4 17,2 1021,68 3528,36 295,84
10 59,96 15,7 941,372 3595,202 246,49
11 59,96 15,7 941,372 3595,202 246,49
12 80,83 18,4 1487,272 6533,489 338,56
13 80,83 18,4 1487,272 6533,489 338,56
14 91,43 17,3 1581,739 8359,445 299,29
15 184,33 25,9 4774,147 33977,55 670,81
16 258,62 28,2 7293,084 66884,3 795,24
17 391,27 24,7 9664,369 153092,2 610,09
Итого 1600,67 273,6 33235,62 301537,6 4946,04
Вероятностная оценка существенности коэффициента корреляции при малой выборке предпочтительно осуществляется на основе расчета значения t - критерия Стьюдента:
,
гдеr – коэффициент корреляции;
n – число сопоставляемых пар наблюдений.
Полученное расчетное значение t - критерия Стьюдента сравнивают с его теоретической величиной в зависимости от 5% и 1% уровень значимости и n-1 числа степеней свободы (приложение В).
Таким образом для вероятности 95% и числу степеней свободы 16 tтабл=2,12, а для вероятности 99% 2,921.
Так как tрасч . > tтабл., то связь между фактором и результатом существенная.
Для аналитического выражения прямолинейной регрессии используют формулу прямой линии:
,
где – расчетное значение результативного признака;
a, b – параметры, представляющие средние значения постоянных показателей;
Параметры уравнения a и b определяют на основе метода наименьших квадратов, для чего решают систему нормальных уравнений.
.
Из таблицы 47.2 получаем систему:
Домножим уравнение (1) системы на (-94.157), получим систему, которую решим методом алгебраического сложения.
-1600.67a -150714.285 b = -25761.355
1600.67*a + 301537.611*b = 33235.62
Получаем:
150823.326*b = 7474.265
Откуда b = 0.04956
Теперь найдем коэффициент «a» из уравнения (1):
17a + 1600.67*b = 273.6
17a + 1600.67*0.04956 = 273.6
17a = 194.277
a = 11.428
Пределим среднее значение рентабельности продаж и стоимости ОПФ:
млн. руб.
Для оценки качества параметров регрессии построим расчетную таблицу 47.3.
Таблица 47.3 – Оценка линейного уравнения регрессии
№ x y (yi-)2 (y-)2 |y - |:y
1 17.16 8.7 12.278 54.673 12.805 0.411 5928,547
2 27.29 11.5 12.78 21.106 1.64 0.111 4471,204
3 36.96 8.9 13.26 51.755 19.006 0.49 3271,504
4 36.96 8.9 13.26 51.755 19.006 0.49 3271,504
5 49.63 14.2 13.888 3.588 0.0976 0.022 1982,659
6 53.81 12.3 14.095 14.395 3.221 0.146 1627,885
7 53.81 12.3 14.095 14.395 3.221 0.146 1627,885
8 58.42 15.3 14.323 0.631 0.954 0.0638 1277,137
9 59.4 17.2 14.372 1.223 7.999 0.164 1208,053
10 59.96 15.7 14.399 0.155 1.691 0.0828 1169,439
11 59.96 15.7 14.399 0.155 1.691 0.0828 1169,439
12 80.83 18.4 15.434 5.317 8.799 0.161 177,6105
13 80.83 18.4 15.434 5.317 8.799 0.161 177,6105
14 91.43 17.3 15.959 1.454 1.798 0.0775 7,43685
15 184.33 25.9 20.563 96.155 28.486 0.206 8131,159
16 258.62 28.2 24.244 146.552 15.648 0.14 27048,06
17 391.27 24.7 30.818 74.061 37.429 0.248 88276,1
Итого 1600.67 273.6 273.6 542.689 172.293 3.204 150823,2
Средняя ошибка аппроксимации - среднее отклонение расчетных значений от фактических:
Оценка существенности параметра b производиться на основе ошибки коэффициента регрессии:
,
гдеS2 – остаточная дисперсия;
x – варианты ряда (факторный признак);
– среднее значение ряда;
Расчетное значение t - критерия определяется:
.
tкрит (n-m-1; α/2) = tкрит (15;0.025) = 2.131 по таблице Стьюдента.
Поскольку 5.68> 2.131, то статистическая значимость коэффициента регрессии b подтверждается.
Параметр, а оценивается по формуле:
.
Расчетное значение t - критерия для параметра a определяется:
Поскольку 13,9> 2.131, то статистическая значимость коэффициента регрессии a подтверждается
Теперь составим таблицу 47.4 для аналогичных расчетов, но по уравнению нелинейной регрессии.
Таблица 47.4 – Расчет параметров равносторонний гиперболы
№ 1/x y 1/x2 y2 y/x
1 0,058 8,7 0,003 75,690 0,507
2 0,037 11,5 0,001 132,250 0,421
3 0,027 8,9 0,001 79,210 0,241
4 0,027 8,9 0,001 79,210 0,241
5 0,020 14,2 0,000 201,640 0,286
6 0,019 12,3 0,000 151,290 0,229
7 0,019 12,3 0,000 151,290 0,229
8 0,017 15,3 0,000 234,090 0,262
9 0,017 17,2 0,000 295,840 0,290
10 0,017 15,7 0,000 246,490 0,262
11 0,017 15,7 0,000 246,490 0,262
12 0,012 18,4 0,000 338,560 0,228
13 0,012 18,4 0,000 338,560 0,228
14 0,011 17,3 0,000 299,290 0,189
15 0,005 25,9 0,000 670,810 0,141
16 0,004 28,2 0,000 795,240 0,109
17 0,003 24,7 0,000 610,090 0,063
Итого 0,321 273,6 0,009 4946,040 4,186
Для наших данных система уравнений имеет вид
17a + 0.321b = 273.6
0.321a + 0.009b = 4.186
Домножим уравнение (1) системы на (-0.019), получим систему, которую решим методом алгебраического сложения