Имеется интегральный оператор Фредгольма с ядром

Решение этой задачи опирается на сведения, которые предоставляют §4, 5, 16, 17 конспекта лекций. В особенности определение непрерывной обратимости и критерии для линейного оператора (§17, пункт 17.1), связь непрерывной обратимости с приближённым решением операторного уравнения (§17, пункт 17.2), метод замены интегрального ядра на вырожденное (§17, пункт 17.4) и метод простых итераций (§4, §5, пункт 5.4).
По данным задачи составим интегральный оператор Фредгольма:
Пусть - тождественный оператор. Запишем интегральное уравнение, левая часть которого порождена оператором :
(1)
А. Докажем, что оператор непрерывно обратим и оценим норму обратного оператора.
В конспекте лекций (§16, пункт 16.2) и в сборнике задач (№48, задание b)) описан способ получения оценки сверху для нормы оператора Фредгольма. В данном случае вычисления дают
.
Здесь и далее все вычисленные результаты приведены с округлением до 4 знака после запятой ради экономии места, хотя вычисления проводились с гораздо более высокой точностью.
Используем один из признаков непрерывной обратимости (см . конспект лекций, §17, следствие 2 теоремы 17.2). Поскольку , то оператор непрерывно обратим и для нормы обратного оператора имеется следующая оценка:
Эта оценка необходима, чтобы далее контролировать точность приближённого решения уравнения через величину невязки :
(2)
B. Найдём приближённое решение уравнения с точностью , используя сочетание метода замены ядра на вырожденное и метода простых итераций.
Проиллюстрируем решение графически.
Идея метода замены ядра на вырожденное описана в конспекте лекций, §17, пункт 17.4. Функция раскладывается в начале координат в ряд Тейлора, сходящийся в квадрате [0; 1]x[0; 1], поэтому заменяя её на многочлен Тейлора степени , можно добиться сколь угодно точного приближения