Имеется электрическая цепь с внутренним сопротивлением r и внешним R

Сила тока в цепи выражается формулой:
I=εR+r
Полная мощность, выделяемая в цепи:
P=I∙ε=ε2R+r
Полезная мощность:
P=I2∙R=ε2R(R+r)2
Исследуем функцию на экстремум:
P'R=ε2(R+r)2-2ε2R(R+r)(R+r)4=ε2(R+r)-2ε2R(R+r)3=ε2r-ε2R(R+r)3
ε2r-ε2R(R+r)3=0 ε2r-ε2R=0 => R=r
R∈0;r y'>0 функция возрастает
R∈r;∞ y'<0 функция убывает
При переходе через точку R=r производная меняет знак с + на -, поэтому при R=r функция достигает максимум.