Графически и аналитически решить задачу максимизации целевой функции Z

Рассмотрим первое неравенство системы ограничений:
2x1+5x2≤35
Запишем для соответствующей прямой уравнение в отрезках:
x117.5+x27=1
Итак, прямая проходит через точки 17.5;0, 0;7. Точка 0;0:
0≤35-верно
Следовательно, нас интересуют точки, лежащие от данной прямой по ту же сторону, что и 0;0.
Рассмотрим второе неравенство системы ограничений:
6x1+x2≤33
Запишем для соответствующей прямой уравнение в отрезках:
x133/6+x233=1
Итак, прямая проходит через точки 336;0, 0;33. Точка 0;0:
0≤33-верно
Следовательно, нас интересуют точки, лежащие от данной прямой по ту же сторону, что и 0;0.
Рассмотрим третье неравенство системы ограничений:
6x1+5x2≤45
Запишем для соответствующей прямой уравнение в отрезках:
x17.5+x29=1
Итак, прямая проходит через точки 7.5;0, 0;9. Точка 0;0:
0≤45-верно
Следовательно, нас интересуют точки, лежащие от данной прямой по ту же сторону, что и 0;0.
Вектор градиент функции Z будет равен (2.4;2) для всех х1 и х2. Прямая с уравнением 2.4x1+2x2=0 представляет собой «нулевую» линию уровня функции, проходит через начало координат и перпендикулярна вектору grad Z.
Вектор градиент в каждой точке плоскости перпендикулярен линиям уровня функции Zx=C. Таким образом, необходимо отложить вектор градиент функции от некоторой точки плоскости (например, от начала координат) и далее вести перпендикуляр от крайней точки области допустимых решений в направлении вектора градиента (противоположном для задачи поиска минимума) . Точка пересечения области допустимых решений и прямой, соответствующей максимально возможному значению целевой функции, и будет точкой максимума.
Введём обозначения:
Линия 1: 2x1+5x2=35Линия (2): 6x1+x2=33Линия (3): 6x1+5x2=45
Построим график в MathCad, заштриховав область допустимых решений:
Таким образом, искомое решение задачи на максимум – множество решений на отрезке AB, поскольку линии уровня целевой функции параллельны прямой (3): 6x1+5x2=45:
6x1+5x2=452x1+5x2≤356x1+x2≤33⟹x1=Cx2=45-6C5C∈[2.5;5]
При этом максимальное значение функции, например, при С=5:
Zmax=Z5, 3=2.4∙3+2∙3=18.
Из данного множество решений выберем то, которое позволяет затратить наименьшую стоимость всех ресурсов:
Qx=7.22x1+5x2+5.56x1+x2+86x1+5x2=95.4x1+81.5x2
QC=-2.4C+733.5⟶min
Значит, при наибольшем C=5 получаем наименьшую общую стоимость всех затраченных ресурсов Q5=721.5 ден. ед.
Решим аналитически симплекс-методом.
Для решения системы неравенств при помощи дополнительных неотрицательных неизвестных х3, х4, х5 заменим системой линейных алгебраических уравнений.
Базисные переменные - это переменные, которые входят только в одно уравнение системы ограничений и притом с единичным коэффициентом. Полагая, что свободные переменные равны 0, получим первый опорный план: X0 = (0,0,15,9).
Составим симплекс таблицу
Базис Решение x1 x2 x3 x4 x5 bi / aij
x3 35 2 5 1 0 0 35/2
x4 33 6 1 0 1 0 11/2
x5 45 6 5 0 0 1 15/2
Z 0 -2.4 -2 0 0 0
Ведущим будет столбец с x1, поскольку по модулю в последней строке наибольший коэффициент по модулю -2.4