Графически и аналитически решить задачу максимизации целевой функции Z согласно варианту

Рассмотрим первое неравенство системы ограничений:
x1+10x2≤35
Запишем для соответствующей прямой уравнение в отрезках:
x135+x23.5=1
Итак, прямая проходит через точки 35;0, 0;3.5. Точка 0;0:
0≤35-верно
Следовательно, нас интересуют точки, лежащие от данной прямой по ту же сторону, что и 0;0.
Рассмотрим второе неравенство системы ограничений:
3x1+x2≤18
Запишем для соответствующей прямой уравнение в отрезках:
x16+x218=1
Итак, прямая проходит через точки 6;0, 0;18. Точка 0;0:
0≤18-верно
Следовательно, нас интересуют точки, лежащие от данной прямой по ту же сторону, что и 0;0.
Вектор градиент функции Z будет равен (2;6) для всех х1 и х2. Прямая с уравнением 6x1+2x2=0 представляет собой «нулевую» линию уровня функции, проходит через начало координат и перпендикулярна вектору grad Z.
Вектор градиент в каждой точке плоскости перпендикулярен линиям уровня функции Zx=C. Таким образом, необходимо отложить вектор градиент функции от некоторой точки плоскости (например, от начала координат) и далее вести перпендикуляр от крайней точки области допустимых решений в направлении вектора градиента (противоположном для задачи поиска минимума) . Точка пересечения области допустимых решений и прямой, соответствующей максимально возможному значению целевой функции, и будет точкой максимума.
Введём обозначения:
Линия 1: x1+10x2=35Линия (2): 3x1+x2=18
Построим график в MathCad, заштриховав область допустимых решений:
Заметим, что линия уровня 6x1+2x2=C параллельна линии (2): 3x1+x2=18, значит решением является множество точек, расположенных на отрезке АB (А(5;3), B(6;0)):
3x1+x2=18x1+10x2≤35⟹3x1+x2=185≤x1≤6⟹x1=Cx2=18-3CC∈[5;6]
При этом максимальное значение функции, одинаковое для любых C∈[5;6], например, при C=5 получим точку А(5;3):
Zmax=6∙5+2∙3=36.
Решим аналитически симплекс-методом.
Для решения системы неравенств при помощи дополнительных неотрицательных неизвестных х3, х4, х5 заменим системой линейных алгебраических уравнений.
Базисные переменные - это переменные, которые входят только в одно уравнение системы ограничений и притом с единичным коэффициентом