Графически и аналитически решить задачу максимизации целевой функции Z

Рассмотрим первое неравенство системы ограничений:
3x1+2x2≤15
Запишем для соответствующей прямой уравнение в отрезках:
x15+x27.5=1
Итак, прямая проходит через точки 5;0, 0;7.5. Точка 0;0:
0≤15-верно
Следовательно, нас интересуют точки, лежащие от данной прямой по ту же сторону, что и 0;0.
Рассмотрим второе неравенство системы ограничений:
x1+2x2≤9
Запишем для соответствующей прямой уравнение в отрезках:
x19+x24.5=1
Итак, прямая проходит через точки 9;0, 0;4.5. Точка 0;0:
0≤9-верно
Следовательно, нас интересуют точки, лежащие от данной прямой по ту же сторону, что и 0;0.
Вектор градиент функции Z будет равен (4;4.5) для всех х1 и х2. Прямая с уравнением 4x1+4.5x2=0 представляет собой «нулевую» линию уровня функции, проходит через начало координат и перпендикулярна вектору grad Z.
Вектор градиент в каждой точке плоскости перпендикулярен линиям уровня функции Zx=C. Таким образом, необходимо отложить вектор градиент функции от некоторой точки плоскости (например, от начала координат) и далее вести перпендикуляр от крайней точки области допустимых решений в направлении вектора градиента (противоположном для задачи поиска минимума) . Точка пересечения области допустимых решений и прямой, соответствующей максимально возможному значению целевой функции, и будет точкой максимума.
Введём обозначения:
Линия 1: 3x1+2x2=15Линия (2): x1+2x2=9
Построим график в MathCad, заштриховав область допустимых решений:
Таким образом, искомое решение задачи на максимум – точка A пресечений линий (1) и (2):
3x1+2x2=15x1+2x2=9⟹3x1+2x2=152x1=6⟹x1=6x2=15-3x12=3
x1=3; x2=3.
При этом максимальное значение функции:
Zmax=Z3, 3=4∙3+4.5∙3=25.5.
Решим аналитически симплекс-методом.
Для решения системы неравенств при помощи дополнительных неотрицательных неизвестных х3, х4, х5 заменим системой линейных алгебраических уравнений.
Базисные переменные - это переменные, которые входят только в одно уравнение системы ограничений и притом с единичным коэффициентом. Полагая, что свободные переменные равны 0, получим первый опорный план: X0 = (0,0,15,9).
Составим симплекс таблицу
Базис Решение x1 x2 x3 x4 bi / aij
x3 15 3 2 1 0 7.5
x4 9 1 2 0 1 4.5
Z 0 -4 -4.5 0 0
Ведущим будет столбец с x2, поскольку по модулю в последней строке наибольший коэффициент по модулю -4.5