Гауссовская кривая и ее свойства

1. Гауссовская кривая и ее свойства.
Определение. Непрерывная случайная величина имеет нормальное распределение (распределена по нормальному закону), если плотность распределения вероятности имеет вид
,
где и – некоторые постоянные, называемые параметрами нормального распределения. Параметр представляет собой математическое ожидание, – среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины.
Характерные свойства функции плотности нормального распределения:
1.Областью определения функции является вся числовая ось.
2.Функция может принимать только положительные значения, т.е. .
3.Предел функции при неограниченном возрастании равен нулю, т.е. ось является горизонтальной асимптотой графика функции.
4.Функция имеет в точке максимум, равный (рис. 1).
167068512255500


0

Рис . 1.
5.График функции симметричен относительно прямой .
59626514160500

0



Рис. 2.
Установим, как влияет изменение параметров и на вид нормальной кривой.
При изменении параметра форма нормальной кривой не изменяется. В этом случае, если математическое ожидание (параметр ) уменьшилось или увеличилось, график нормальной кривой сдвигается влево или право (рис. 2).
При изменении параметра изменяется форма нормальной кривой. Если этот параметр увеличивается, то максимальное значение функции убывает, и наоборот.
Так как площадь, ограниченная кривой распределения и осью должна быть постоянной и равной 1, то с увеличением параметра кривая приближается к оси и растягивается вдоль нее, а с уменьшением кривая стягивается к прямой (рис. 3), 1 2 3
110934577470

5588088900
2679702540 -590551168401
615956731000
-3873576835002
11049018923000
-61595189230003
-118110355600
а
Рис