Функцию fx=π-x в интервале 0 π разложить в ряд синусов

Применяем формулы:
fx~n=1∞bnsinπnxl
bn=2l0πfxsinπnxldx
bn=2π0ππ-xsinπnxπdx=2π0ππ-xsinnxdx
π-xsinnxdx=uv-vdu=u=π-xdu=-dxdv=sinnxdxv=-1ncosnx=-π-xncosnx-1ncosnxdx=-π-xncosnx-1n2sinnx
Вернемся к исходному определенному интегралу:
=2π0ππ-xsinnxdx=2π-π-xncosnx-1n2sinnx0π=2π-π-πncosnπ-1n2sinnπ-2π-π-0ncosn*0-1n2sinn*0=2π-0*cosnπ-1n2*0-2π-πn*1-1n2*0=2n
Подставляем в исходную формулу:
fx~n=1∞2nsinnπ
Примечание:
cosπn = -1n
sinπn = 0