Функция задана аналитически на отрезке

Изобразим заданную функцию на отрезке :
Продолжим заданную функцию на всю числовую ось с периодом :
В этом случае соответствующий ряд Фурье будет выглядеть так:
.
Вычислим коэффициенты Фурье:
,
.
Вычислим интегралы отдельно:
,
.
Следовательно,
.
Вычисляем коэффициенты :
.
Вычислим интегралы отдельно:
,
.
Следовательно,
.
Искомый ряд Фурье:
.
При этом заданное продолжение при .
Продолжим заданную функцию на четным образом, а затем полученное продолжение продолжим на всю числовую ось периодически с периодом . Получим функцию :
Полученная функция непрерывна и удовлетворяет остальным условиям Дирихле, следовательно,
,
где ‒ ряд Фурье по косинусам функции