Функция полезности потребителя имеет вид Ux

Для вычисления максимальной полезности потребления необходимо решить оптимизационную задачу:
Ux,y=xy+10y+350→max2x+y=80
Воспользуемся методом множителей Лагранжа. Для этого построим функцию Лагранжа:
Lx,y,λ=xy+10y+350+λ80-2x-y
Вычислим частные производные первого порядка и приравняем их к нулю:
dLdx=xy+10y+350+λ80-2x-yx'=y2xy+10y+350-2λ
dLdy=xy+10y+350+λ80-2x-yy'=x+102xy+10y+350-λ
dLdλ=xy+10y+350+λ80-2x-yλ'=80-2x-y
y2xy+10y+350-2λ=0x+102xy+10y+350-λ=080-2x-y=0
y2xy+10y+350-2λ-x+10xy+10y+350+2λ=0λ=5xy+10y+35080-2x-y=0
y-x-102xy+10y+350=0λ=5xy+10y+35080-2x-y=0y-x-10=0xy+10y+350≠0λ=5xy+10y+35080-2x-y=0x=y-10y=80-2xλ=5xy+10y+350xy+10y+350≠0x=23,33y=33,34λ=0,13
Таким образом, максимальная полезность потребления равна:
Ux,y=23,33∙33,34+10∙33,34+350≈38,22593622