Функция полных издержек фирмы производящей товар двух видов в количества x и y

Функция прибыли:
πx,y=x∙P1x+y∙P2y-Cx,y=x21-x+y62-y-x-2y-150=
=-x2+20x-y2+60y-150
Найдем стационарные точки из системы уравнений:
∂π∂x=0∂π∂y=0
∂π∂x=(-x2+20x-y2+60y-150)x'=-2x+20
∂π∂y=(-x2+20x-y2+60y-150)y'=-2y+60
-2x+20=0-2y+60=0 x=10y=30
Получили стационарную точку:
M10;30
Вычислим частные производные второго порядка:
∂2π∂x2=-2x+20x'=-2
∂2π∂y2=-2y+60y'=-2
∂2π∂x∂y=(-2y+60)x'=0
Вычислим значение частных производных второго порядка в стационарной точке:
A=∂2π∂x2M=-2 C=∂2π∂y2M=-2 B=∂2π∂x∂yM=0
Вычислим значение выражения:
AC-B2=4-0=4
Так как AC-B2>0 и A<0 то в точке M имеется максимум
πmax=πM=-100+200-900+1800-150=850
Построим множество производственных возможностей, ограниченное издержками производства:
C(x,y)≤C0x≥0y≥0 x+2y+150≤175x≥0y≥0 x+2y≤25x≥0y≥0
Найдем наибольшее значение функции в области производственных возможностей, ограниченное издержками производства:
Стационарная точка M10;30 не принадлежит области
Исследуем функцию на границе области:
x=0 => πx,y=-y2+60y-150 y∈[0;12,5]
dπdy=-2y+60 -2y+60=0 y=30
Точка не принадлежит области
y=0 => πx,y= -x2+20x-150 x∈[0;25]
dπdx=-2x+20 -2x+20=0 x=10
M110;0
x=25-2y
πx,y=-25-2y2+2025-2y-y2+60y-150=-5y2+120y-275
dπdy=-10y+120 -10y+120=0 y=12 => x=1
M21;12
Вычислим значение функции в получившихся точках, а также, в угловых точках области:
π0;0=-150 π0;12,5=443,75 π25,0=975
π10,0=150 π1,12=447
Таким образом, при объемах выпуска x=25;y=0 достигается максимальная прибыль 975 ед