Функции и законы распределения дискретных случайных величин. Числовые характеристики
В коробке 15 пакетов с макаронными изделиями, одинаковыми по внешнему виду, но отличающимися сортом муки, из которой изготовлены, причем 10 пакетов макаронных изделий высшего сорта и 5 пакетов – 2-го. Из коробки берут на удачу 3 пакета. Случайная величина 𝑋 – число пакетов с макаронными изделиями 1-го сорта в выборке.
Решение
Пусть случайная величина Х – число пакетов с макаронными изделиями 1-го сорта в выборке. Случайная величина Х может принимать следующие значения: 0, 1, 2 и 3.
Вероятность того, что число пакетов с макаронными изделиями 1-го сорта равно 0 найдем по классическому определению вероятности.
Общее число исходов равно числу способов выбрать из 15 пакетов 3 пакета, т.е. число сочетаний из 15 объектов по 3:
n=C153=15!3!15-3!=12!∙13∙14∙151∙2∙3∙12!=13∙7∙5=455
Общее число благоприятствующих исходов, будет равняться произведению способов выбрать из 10 пакетов высшего сорта 3 пакетов и из 5 пакетов 1-го сорта 0 пакета:
m=C103∙C50=10!3!10-3!∙5!0!5-0!=7!∙8∙9∙101∙2∙3∙7!∙5!5!=120
Тогда, искомая вероятность равна
PХ=0=C103∙C50C53C153=120455≈0,264
Вероятность того, что число пакетов с макаронными изделиями 1-го сорта равно 1 найдем по классическому определению вероятности.
Общее число благоприятствующих исходов, будет равняться произведению способов выбрать из 10 пакетов высшего сорта 2 пакетов и из 5 пакетов 1-го сорта - 1 пакет:
m=C102∙C51=10!2!10-2!∙5!1!5-1!=8!∙9∙101∙2∙8!∙4!∙54!=255
Тогда, искомая вероятность равна
PХ=1=C102∙C51C153=255455≈0,494
Вероятность того, что число пакетов с макаронными изделиями 1-го сорта равно 2 найдем по классическому определению вероятности.
Общее число благоприятствующих исходов, будет равняться произведению способов выбрать из 10 пакетов высшего сорта 1 пакет и из 5 пакетов 1-го сорта - 2 пакета:
m=C101∙C52=10!1!10-1!∙5!2!5-2!=9!∙101∙9!∙3!∙4∙51∙2∙3!=100
Тогда, искомая вероятность равна
PХ=2=C101∙C52C153=100455≈0,22
Вероятность того, что число пакетов с макаронными изделиями 1-го сорта равно 3 найдем по классическому определению вероятности.
Общее число благоприятствующих исходов, будет равняться произведению способов выбрать из 10 пакетов высшего сорта 0 пакетов и из 5 пакетов 1-го сорта - 3 пакета:
m=C100∙C53=10!0!10-0!∙5!3!5-3!=10!1∙10!∙3!∙4∙51∙2∙3!=10
Тогда, искомая вероятность равна
PХ=3=C100∙C53C153=10455≈0,022
Для случайной величины 𝑋 – число пакетов с макаронными изделиями 1-го сорта в выборке, закон распределения имеет вид:
xi
0 1 2 3
pi
0,264 0,494 0,22 0,022
Контроль: 0,264+0,494+0,22+0,022=1
Запишем функцию распределения F(X)
Fx≤0=0
F0<x≤1=0,264
F1<x≤2=0,264+0,494=0,758
F2<x≤3=0,264+0,494+0,22=0,978
Fx>3=0,264+0,494+0,22+0,022=1
Тогда функция распределения имеет вид:
Fx=0 при x≤00,264 при 0<x≤10,758 при 1<x≤20,978 при 2<x≤31 при x>3
График функции распределения имеет вид
Математическое ожидание М(Х) найдем по формуле:
MХ=i=1nxipi
Подставляем в формулу, получим
MХ=0∙0,264+1∙0,494+2∙0,22+3∙0,022=
=0+0,494+0,44+0,066=1
Дисперсию D(x) найдем по формуле:
DХ=i=1nxi2pi-(MХ)2
Тогда
DХ=02∙0,264+12∙0,494+22∙0,22+32∙0,022-12=
=0+0,494+0,88+0,198-1=0,572
Среднее квадратическое отклонение равно
σХ=DХ=0,572≈0,76
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
