Формализовать постановку следующей транспортной задачи.
Стоимость доставки единицы продукции от поставщика к потребителю располагается в правом нижнем углу ячейки.
Поставщик Потребитель Запас
B 1 B 2 B 3
A 1 5 3 1 10
A 2 3 2 4 20
A 3 4 1 2 30
Потребность 15 20 25
Требуется составить план перевозок, при котором общая стоимость доставки продукции будет наименьшей.
Ответ
Для достижения минимальных затрат в размере 110 денежных единиц доставку груза следует распределить между поставщиками и потребителями следующим образом:
- от первого поставщика необходимо весь груз направить к третьему потребителю;
- от второго поставщика необходимо 15 единиц груза направить к первому потребителю и 5 единиц груза ко второму потребителю;
- от третьего поставщика необходимо 15 единиц груза направить ко второму потребителю и 15 единиц груза к третьему потребителю;
Решение
Построим математическую модель транспортной задачи, формализуя представленные выше условия.
Найти x=x11,x12,x13,…,x33, которые удовлетворяют ограничениям:
- первая группа условий (от каждого поставщика все запасы должны быть по возможности вывезены)
x11+x12+x13=10x21+x22+x23=20x31+x32+x33=30
- вторая группа условий (каждый потребитель должен быть удовлетворен в своем спросе)
x11+x21+x31=15x12+x22+x32=20x13+x32+x33=25
- третья группа условий (объем перевозок всегда положительное число)
x11,x12,x13,…,x33≥0
Суммарные затраты на реализацию всего плана перевозок должны быть минимальными:
S=5x11+3x12+x13+3x21+2x22+4x23+4x31+x32+2x33→min
Для составления плана перевозок, при котором общая стоимость доставки продукции будет наименьшей, проверим необходимое и достаточное условие разрешимости задачи:
a=10+20+30=60
b=15+20+25=60
Условие баланса соблюдается: запасы равны потребностям. Следовательно, модель транспортной задачи является закрытой.
Используя метод наименьшей стоимости, построим первый опорный план транспортной задачи. Суть метода заключается в том, что из всей таблицы стоимостей выбирают наименьшую, и в клетку, которая ей соответствует, помещают меньшее из чисел ai, или bj. Затем, из рассмотрения исключают либо строку, соответствующую поставщику, запасы которого полностью израсходованы, либо столбец, соответствующий потребителю, потребности которого полностью удовлетворены, либо и строку, и столбец, если израсходованы запасы поставщика и удовлетворены потребности потребителя. Из оставшейся части таблицы стоимостей снова выбирают наименьшую стоимость, и процесс распределения запасов продолжают, пока все запасы не будут распределены, а потребности удовлетворены.
Таким образом, получим следующий опорный план данной транспортной задачи:
B1 B2 B3 Запас
A1 5
3 1
10 10
A2 3
15
2
4
5 20
A3 4 1
20
2
10 30
Потребность 15 20 25
В результате получен первый опорный план, который является допустимым, так как все грузы из баз вывезены, потребность магазинов удовлетворена, а план соответствует системе ограничений транспортной задачи.
Подсчитаем число занятых клеток таблицы, их 5, а должно быть m + n - 1 = 5
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
