Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии

1)Угол между ребрами и находим с помощью скалярного произведения векторов по формуле:
cosφ=cosBSᶺBC=BS∙BCBS∙BC ,
Найдем координаты векторов :
BS=xS-xB; yS-yB; zS-zB=5--5;5-6;10--5=10;-1;15;
BC=xC-xB; yC-yB; zC-zB=-5--5;-5-6;-10--5=0;-11;-5.
Найдем скалярное произведение векторов:
BS∙BC=10∙0+-1∙-11+15∙-5=0+11-75=-64.
Найдем длины векторов:
Модуль вектора (его длина) вычисляется по формуле
. Тогда
BS=102+-12+152=100+1+225=326;
BC=02+-112+-52=0+121+25=146.
Получаем: cosφ=cosBSᶺBC=-64326∙146=--64211899=-3211899 ;
2)Площадь грани ABC находим с помощью векторного произведения векторов
SABC=12BA×BC.
BC=0;-11;-5.
Найдем координаты вектора BA:
BA=xA-xB; yA-yB; zA-zB=6--5;-5-6;-5--5=11;-11;0 .
Найдем векторное произведение векторов:
BA×BC=ijk11-1100-11-5=i∙-110-11-5-j1100-5+k∙11-110-11=
=-11∙-5--11∙0∙i-11∙-5-0∙0∙j+11∙-11-0∙-11k=
=55-0∙i—-55-0∙j+-121+0∙k=55i+55j-121k,
модуль векторного произведения равен:
BA×BC=552+552+1212=3025+3025+14641=20691=3319,
откуда находим площадь треугольника:
SABC=12∙3319 =33192 .
3) Объем пирамиды находим с помощью смешанного произведения векторов по формуле:
Vпир.=16BS, BC, BA,
Так как выше найдены координаты векторов:
BS=10;-1;15; BC=0;-11;-5; BA=11;-11;0,
Подставим координаты векторов в формулу, получим:
Vпир.=16BS, BC, BA=1610-1150-11-511-110=
=16(10·-11·0+-1·-5·11+15·0·-11-15·-11·11-10·-5·-11- 
- -1·0·0)=160+55+0+1815-550-0=13206=220